Question

19．如圖所示，將菱形ABCD放置于平面直角坐標(biāo)系中，其中AB邊在y軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，0）．直線m：$y=-\frac{4}{3}x-3$經(jīng)過點(diǎn)B，將該直線沿著y軸以每秒1個單位的速度向上平移，設(shè)平移時間為t，經(jīng)過點(diǎn)D時停止平移．
（1）填空：點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，5）；
（2）設(shè)平移時間為t，求直線m經(jīng)過點(diǎn)A、C、D 的時間t；
（3）已知直線m與BC所在直線互相垂直，在平移過程中，直線m被菱形 ABCD 截得線段的長度為l，請寫出l與平移時間t的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式（不必寫出詳細(xì)的解答過程，簡要說明你的解題思路，寫清結(jié)果即可）．

Answer 1

分析 （1）先求出BC的長即可解決問題．
（2）求出A、C、D坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可即可．
（3）分三個時間段討論即可①當(dāng)0≤t≤5時，②當(dāng)5＜t≤$\frac{25}{3}$時，③當(dāng)$\frac{25}{3}$＜t≤$\frac{40}{3}$時，分別畫出圖象即可解決問題．

解答 解：（1）∵C（4，0），B（0，-3），
∴OC=4，OB=3，
∴BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴；BC=CD=5BC=CD=5，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，5）．
故答案為（4，5）．

（2）∵$y=-\frac{4}{3}x-3$
∴B（0，-3），OB=3
∵C（4，0）
∴OC=4，
由勾股定理BC=5，即菱形邊長是5，點(diǎn)A（0，2）
直線m：$y=-\frac{4}{3}x-3$從點(diǎn)B（0，-3）開始沿著y軸向上平移，
設(shè)平移過程中直線m的函數(shù)表達(dá)式為$y=-\frac{4}{3}x+b$，直線m與y軸交點(diǎn)為M，則BM=t
當(dāng)直線m：$y=-\frac{4}{3}x+b$經(jīng)過點(diǎn)A（0，2）時：
M與A重合，t=BM=BA=5； 
當(dāng)直線m：$y=-\frac{4}{3}x+b$經(jīng)過點(diǎn)C（4，0）時：$y=-\frac{4}{3}x+\frac{16}{3}$，此時M坐標(biāo)為（0，$\frac{16}{3}$），t=BM=$\frac{25}{3}$；
當(dāng)直線m：$y=-\frac{4}{3}x+b$經(jīng)過點(diǎn)D（4，5）時：$y=-\frac{4}{3}x+\frac{31}{3}$，此時M坐標(biāo)為（0，$\frac{31}{3}$），t=BM=$\frac{40}{3}$；

（3，如圖1：設(shè)直線m交y軸于M，
交BC于N，則l=MN，BM=t

∵在平移過程中直線m與BC所在直線互相垂直
顯然△BNM∽△BOC，$\frac{MN}{OC}=\frac{BM}{BC}$
∵OC=4，BC=5∴l(xiāng)=MN=$\frac{4}{5}t$，
②當(dāng)5＜t≤$\frac{25}{3}$時，如圖2中，設(shè)直線m交y軸于M，交BC于N，
交AD于P，此時：l=NP，BM=t
過A點(diǎn)作AE⊥BC于E，則AE=PN=l．

此時△AEB≌△COB，AE=OC=4
∴l(xiāng)=4，
③當(dāng)$\frac{25}{3}$＜t≤$\frac{40}{3}$時，如圖3中，設(shè)直線m交y軸于M，交AD于P，
交CD于N，此時：l=PN，BM=t，MA=t-5
過N點(diǎn)作NF∥BC交y軸于F，則FN=BC=5．

由△MFN∽△CBO，得$\frac{MN}{OC}=\frac{FN}{BO}$，MN=$\frac{20}{3}$；
由△MAP∽△CBO，得 $\frac{MP}{CO}=\frac{MA}{CB}$，MP=$\frac{4}{5}（{t-5}）$
l=PN=MN-MP=$\frac{32}{3}-\frac{4}{5}t$，
綜上所述：$l=\left\{\begin{array}{l}\;\frac{4}{5}t\;\;（當(dāng)0≤t≤5時）\\ 4\;\;（當(dāng)5＜t≤\frac{25}{3}時）\\ \;\frac{32}{3}-\frac{4}{5}t\;\;（當(dāng)\frac{25}{3}＜t≤\frac{40}{3}時）\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查一次函數(shù)綜合題、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法，學(xué)會分類討論，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考壓軸題．