Question

（2010•安徽）如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個(gè)就能推出△ABC是等腰三角形的是    ．（把所有正確答案的序號(hào)都填寫(xiě)在橫線(xiàn)上）
①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB-BD=AC-CD．

Answer 1

【答案】分析：可根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)來(lái)判斷①②是否正確；③④要通過(guò)作等腰三角形來(lái)判斷其結(jié)論是否成立．
解答：解：應(yīng)添加的條件是②③④；
證明：②當(dāng)∠BAD=∠CAD時(shí)，
∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，且AD是BC邊上的高；
則△ABD≌△ACD，
∴△BAC是等腰三角形；
③延長(zhǎng)DB至E，使BE=AB；延長(zhǎng)DC至F，使CF=AC；連接AE、AF；

∵AB+BD=CD+AC，
∴DE=DF，又AD⊥BC；
∴△AEF是等腰三角形；
∴∠E=∠F；
∵AB=BE，
∴∠ABC=2∠E；
同理，得∠ACB=2∠F；
∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；

④△ABC中，AD⊥BC，根據(jù)勾股定理，得：
AB²-BD²=AC²-CD²，
即（AB+BD）（AB-BD）=（AC+CD）（AC-CD）；
∵AB-BD=AC-CD，
∴AB+BD=AC+CD；
∴兩式相加得，
2AB=2AC；
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形
故填②③④．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是等腰三角形的判定和性質(zhì)；本題的難點(diǎn)是結(jié)論③的證明，能夠正確的構(gòu)建出等腰三角形是解答③題的關(guān)鍵．