Question

7．已知直線y=x+7與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，m）．
（1）求m、k的值；
（2）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C，P在y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，試求A、B、C、D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，正方形ABCD的頂點(diǎn)F在y軸的正半軸上，頂點(diǎn)E在y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，（點(diǎn)F在點(diǎn)D的左上方），設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為n，試求n²+4n的值．

Answer 1

分析 （1）把（1，m）代入y=x+7求得m的值，然后代入y=$\frac{k}{x}$（k≠0），即可求得k的值；
（2）作CM⊥y軸于M，DN⊥x軸N，設(shè)D（a，$\frac{8}{a}$），則DN=a，ON=$\frac{8}{a}$，證得Rt△BMC≌Rt△AOB≌Rt△DNA，得出OA=DN=BM=a，OB=AN=CM=$\frac{8}{a}$-a，OM=ON=a+$\frac{8}{a}$-a=$\frac{8}{a}$，得出C（$\frac{8}{a}$，$\frac{8}{a}$-a），根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出$\frac{8}{a}$•（$\frac{8}{a}$-a）=8，解得a=2，從而求得A、B、C、D的坐標(biāo)；
（3）作EH⊥ND于H，EQ⊥y軸于Q，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為n，則E（n，$\frac{8}{n}$），則EH=$\frac{8}{n}$-4，證得Rt△DEH≌Rt△FEQ，得出EQ=EH，從而得出n=$\frac{8}{n}$-4，從而求得n²+4n=8．

解答 解：（1）∵直線y=x+7與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，m），
∴m=1+7=8，
∴交點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，8），
∴k=1×8=8；
（2）作CM⊥y軸于M，DN⊥x軸N，如圖1，
設(shè)D（a，$\frac{8}{a}$），則DN=a，ON=$\frac{8}{a}$，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC=AB=AD，
∵∠BMC=∠AOB=∠AND=90°，
∴∠MBC+∠OBA=90°，∠MCB+∠MBC=90°，
∴∠MCB=∠OBA，
同理可得：∠DAN=∠OBA，
∴Rt△BMC≌Rt△AOB≌Rt△DNA，
∴OA=DN=BM=a，
∴OB=AN=CM=$\frac{8}{a}$-a，
∴OM=ON=a+$\frac{8}{a}$-a=$\frac{8}{a}$，
∴A（0，a），B（$\frac{8}{a}$-a，0），C（$\frac{8}{a}$，$\frac{8}{a}$-a），D（a，$\frac{8}{a}$），
∵點(diǎn)C在在y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴$\frac{8}{a}$•（$\frac{8}{a}$-a）=8，
整理得，a²=4，解得a=2或a=-2（舍去），
∴A（0，2），B（2，0），C（4，2），D（2，4）；
（3）如圖2，作EH⊥ND于H，EQ⊥y軸于Q，
設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為n，則E（n，$\frac{8}{n}$），
∵D（2，4），
∴EH=$\frac{8}{n}$-4，
∵四邊形EFGD為正方形，
∴EF=ED，
∵∠EQF=∠EHD=90°，
∴∠DEH+∠FEH=90°，∠QEF+∠FEH=90°，
∴∠DEH=∠QEF，
∴Rt△DEH≌Rt△FEQ，
∴EQ=EH，
∴n=$\frac{8}{n}$-4，解得n²+4n=8．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，找出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．