Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-7，3），B（-3，0），C（0，4），將△ABC作關(guān)于y軸的軸對(duì)稱圖形得△A′B′C．
（1）求證：△ABC是等腰直角三角形；
（2）求直線CA′的函數(shù)解析式；
（3）在線段CA′上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線BC和直線BB′的距離相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由兩點(diǎn)間的距離公式求出三角形的三條邊長(zhǎng)，由兩邊相等，且這兩條邊的平方和等于第三條邊的平方，從而得出結(jié)論；
（2）結(jié)合對(duì)稱的特性可以找到A′的坐標(biāo)，設(shè)出直線CA′的函數(shù)解析式，由待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（3）假設(shè)存在，并設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)（m，-$\frac{1}{7}$m+4），分別找出直線BC和直線BB′的函數(shù)解析式，由點(diǎn)到直線的距離將點(diǎn)P到二者距離表示出來，再根據(jù)P點(diǎn)在線段CA′上找出m的取值范圍，解關(guān)于m的一元一次方程即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-7，3），B（-3，0），C（0，4），
∴由兩點(diǎn)間的距離公式可得：AB=$\sqrt{[-3-（-7）]^{2}+（0-3）^{2}}$=5，BC=$\sqrt{[0-（-3）]^{2}+（4-0）^{2}}$=5，AC=$\sqrt{[0-（-7）]^{2}+（4-3）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴AB=BC，且有AC²=AB²+BC²，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）解：∵A、A′關(guān)于y軸對(duì)稱，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（-7，3），
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（7，3）．
設(shè)直線CA′的函數(shù)解析式為y=kx+b，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{4=b}\\{3=7k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{7}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴直線CA′的函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{7}$x+4．
（3）解：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{7}$m+4）．
設(shè)直線BC的解析式為y=k₁x+b₁，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=-3{k}_{1}+_{1}}\\{4=_{1}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{4}{3}}\\{_{1}=4}\end{array}\right.$．
故直線BC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+4，即$\frac{4}{3}$x-y+4=0．
∵BB′均在x軸上，且不重合，
∴直線BB′的解析式為y=0．
點(diǎn)P到直線BC的距離d₁=$\frac{|\frac{4}{3}m-（-\frac{1}{7}m+4）+4|}{\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{31}{35}$|m|．
點(diǎn)P到直線BB′的距離d₂=|-$\frac{1}{7}$m+4|．
由已知可得，$\frac{31}{35}$|m|=|-$\frac{1}{7}$m+4|．
又∵點(diǎn)P在線段CA′上，且點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)A′（7，3），
∴0≤m≤7．
在0≤m≤7中，原方程變形為：$\frac{31}{35}$m=-$\frac{1}{7}$m+4，
解得：m=$\frac{35}{9}$．
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{35}{9}$，$\frac{31}{9}$）．
故在線段CA′上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線BC和直線BB′的距離相等，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{35}{9}$，$\frac{31}{9}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的判定、對(duì)稱的性質(zhì)、待定系數(shù)法求直線解析式和點(diǎn)到直線的距離公式，解題的關(guān)鍵是：（1）找出AB=BC，且AC²=AB²+BC²；（2）由對(duì)稱的性質(zhì)知道A′的坐標(biāo)；（3）能熟練運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大，失分點(diǎn)在于（3）中去絕對(duì)值符號(hào)，部分同學(xué)會(huì)分類討論，得出P點(diǎn)坐標(biāo)再去排除，此處可先由點(diǎn)P在線段CA′找出m的取值范圍，由此可直接得出所要求的結(jié)論．