Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，且與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，連接，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、）重合.

（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，求面積的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），D的坐標(biāo)為（1，4）；（2）當(dāng)m=時(shí) △BPE的面積取得最大值為，P的坐標(biāo)是（，3）；（3）存在，M點(diǎn)的坐標(biāo)為；；；；；

【解析】

（1）先根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)A（-1，0）B（3，0）兩點(diǎn)，分別求出a、b的值，再代入拋物線即可求出二次函數(shù)的解析式并得出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）先設(shè)出BD解析式y=kx+b，再把B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根據(jù)面積公式即可求出最大值以及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)題意利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行分析求值，注意分類(lèi)討論.

解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）

∴　　　

所以二次函數(shù)的解析式為：

D的坐標(biāo)為（1，4）

（2）設(shè)BD的解析式為y=kx+b

∵過(guò)點(diǎn)B（3，0），D（1，4）

∴解得

BD的解析式為span>y = -2x+6

設(shè)P（m，）

PE⊥y軸于點(diǎn)E

∴ △BPE的PE邊上的高h=

S△BPE=×PE×h

=m()

=

=

∵a=-1<0 當(dāng)m=時(shí) △BPE的面積取得最大值為

當(dāng)m=時(shí)，y=-2×+6=3

P的坐標(biāo)是（，3）

（3）存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

當(dāng)點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，可得BM平行于PN，則有N點(diǎn)縱坐標(biāo)等于P點(diǎn)縱坐標(biāo)，把y=3代入求出N的坐標(biāo)（0，3）或（2，3），

當(dāng)N的坐標(biāo)（0，3）或（2，3）時(shí)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為��；，；

當(dāng)BP平行于MN時(shí)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為；；.

M點(diǎn)的坐標(biāo)為：�。�；；；.