Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接MN.

(1)若△BMN與△ABC相似，求t的值；

(2)連接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．

Answer 1

【答案】 (1) △BMN與△ABC相似時(shí)，t的值為或；(2) .

【解析】試題分析：(1)、根據(jù)Rt△ABC的勾股定理得出AB的長(zhǎng)度，然后用含t的代數(shù)式分別表示BM、CN和BN的長(zhǎng)度，然后根據(jù)兩種不同的相似得出t的值，得出答案；(2)、過(guò)點(diǎn)M作MD⊥CB于點(diǎn)D，從而得出△BDM和△BCA相似，從而求出DM、BD和CD的長(zhǎng)度，然后根據(jù)垂直得出△CAN和△DCM相似，從而得出t的值．

試題解析：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴BA＝＝10(cm)．

由題意得BM＝3tcm，CN＝2tcm， ∴BN＝(8－2t)cm.

當(dāng)△BMN∽△BAC時(shí)，＝， ∴＝，解得t＝；

當(dāng)△BMN∽△BCA時(shí)，＝， ∴＝，解得t＝.

綜上所述，△BMN與△ABC相似時(shí)，t的值為或；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥CB于點(diǎn)D，

∴∠BDM＝∠ACB＝90°， 又∵∠B＝∠B， ∴△BDM∽△BCA，

∴＝＝. ∵AC＝6cm，BC＝8cm，BA＝10cm，BM＝3tcm，

∴DM＝tcm，BD＝tcm， ∴CD＝cm.

∵AN⊥CM，∠ACB＝90°， ∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°，

∴∠CAN＝∠MCD. ∵MD⊥CB， ∴∠MDC＝∠ACB＝90°， ∴△CAN∽△DCM，

∴＝， ∴＝， 解得t＝．