Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y1＝ax（x﹣2）與x軸交于O、A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸BM交拋物線于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)C，連接OB、AB、OM、AM，已知0＜a＜4，四邊形OMAB的面積為S．

特例探究：填表：

歸納證明：

當(dāng)a＝2時(shí)，證明四邊形OMAB是菱形；

拓展應(yīng)用

（1）將拋物線y1＝ax（x﹣2）改為拋物線y3＝ax（x﹣2m）（m＞0），其他條件不變，當(dāng)四邊形OMAB為正方形時(shí)，a＝　 　，m＝　 　．

（2）將拋物線y1＝ax（x﹣2）改為拋物線y3＝ax（x﹣2m）（m＞0），其他條件不變，S＝　 　（用含m的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】特例探究：4，4，4；歸納證明：答案見解析；拓展應(yīng)用：（1）2，；（2）4m3．

【解析】

特例探究：根據(jù)題意可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，分別求得當(dāng)a的值分別取1，2，3時(shí)，B與M的坐標(biāo)，即可求得答案；

歸納證明：由拋物線y=ax（x-2）（0＜a＜4）與x軸交于O，A兩點(diǎn)，可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，求得對(duì)稱軸，則可求得點(diǎn)M與點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可證得結(jié)論；

拓展應(yīng)用

（1）由拋物線y=ax（x-2m）（0＜a＜4）與x軸交于O，A兩點(diǎn)，首先可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求得對(duì)稱軸，則可求得點(diǎn)M與點(diǎn)B的坐標(biāo)，由四邊形OMAB為正方形，可得方程組，從而求得答案；

（2）結(jié)合歸納證明與（1），即可求得答案．

特例探究：當(dāng)y1＝0時(shí)，ax（x﹣2）＝0，解得：x1＝0，x2＝2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），∴拋物線y1＝ax（x﹣2）的對(duì)稱軸為直線x＝1．

當(dāng)x＝1時(shí)，y1＝ax（x﹣2）＝﹣a，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣a），

當(dāng)x＝1時(shí)，y2＝（4﹣a）x2＝4﹣a，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，4﹣a），

∴OA＝2，BM＝4﹣a﹣（﹣a）＝4，∴S＝S△OAB+S△OAM＝OABM＝×2×4＝4．

故答案為：4；4；4．

歸納證明：當(dāng)a＝2時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），∴BC＝CM．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），拋物線y1＝ax（x﹣2）的對(duì)稱軸為直線x＝1．∴OC＝AC.

∴四邊形OMAB是平行四邊形

∵BM⊥OA，∴當(dāng)a＝2時(shí)，四邊形OMAB是菱形；

拓展應(yīng)用：（1）當(dāng)y3＝0時(shí)，ax（x﹣2m）＝0，解得：x1＝0，x2＝2m，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2m，0），∴拋物線y3＝ax（x﹣2m）的對(duì)稱軸為直線x＝m．

當(dāng)x＝m時(shí)，y3＝ax（x﹣2m）＝﹣am2，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣am2），

當(dāng)x＝m時(shí)，y2＝（4﹣a）x2＝（4﹣a）m2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，（4﹣a）m2）．

∵四邊形OMAB為正方形，∴BC＝CM＝OC，即，

解得：a＝2，m＝．

故答案為：2；．

（2）由（1）可知：OA＝2m，BM＝（4﹣a）m2﹣（﹣am2）＝4m2，∴S＝S△OAB+S△OAM＝OABM＝×2m×4m2＝4m3．

故答案為：4m3．