【題目】八年級(jí)(1)班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動(dòng)課,利用角尺平分一個(gè)角(如圖).設(shè)計(jì)了如下方案:
(Ⅰ)∠AOB是一個(gè)任意角,將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA,OB之間,移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M,N重合,即PM=PN,過(guò)角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線.
(Ⅱ)∠AOB是一個(gè)任意角,在邊OA,OB上分別取OM=ON,將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA,OB之間,移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M,N重合,即PM=PN,過(guò)角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線.
(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行?若可行,請(qǐng)證明;若不可行,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情況下,繼續(xù)移動(dòng)角尺,同時(shí)使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)方案(Ⅰ)不可行.缺少證明三角形全等的條件;當(dāng)∠AOB是直角時(shí),此方案可行.
【解析】
(1)方案(Ⅰ)中判定并不能判斷就是的角平分線,關(guān)鍵是缺少的條件,只有“邊邊”的條件;
(2)可行.此時(shí)和都是直角三角形,可以利用證明它們?nèi),然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明為的角平分線.
(1)方案(Ⅰ)不可行.缺少證明三角形全等的條件.
∵只有OP=OP,PM=PN不能判斷△OPM≌△OPN;
∴就不能判定OP就是∠AOB的平分線.
方案(Ⅱ)可行.證明:在△OPM和△OPN中,
∴△OPM≌△OPN(SSS),∴∠AOP=∠BOP.
(2)當(dāng)∠AOB是直角時(shí),此方案可行.
∵PM⊥OA,PN⊥OB,
∴∠OMP=∠ONP=90°.
∵∠MPN=90°,
∴∠AOB=360°―∠OMP―∠ONP―∠MPN=90°.
∵PM⊥OA,PN⊥OB,且PM=PN,
∴OP為∠AOB的平分線(到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上).
當(dāng)∠AOB不為直角時(shí),此方案不可行.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線與軸、軸分別交于點(diǎn),.點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0),點(diǎn) 的坐標(biāo)為(,0).
(1)求的值;
(2)若點(diǎn)(,)是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,試寫(xiě)出的面積與的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量的取值范圍;
(3)探究:當(dāng)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),的面積為,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】要利用28米長(zhǎng)的籬笆和一堵最大可利用長(zhǎng)為12米的墻圍成一個(gè)如圖1的一邊靠墻的矩形養(yǎng)雞場(chǎng),在圍建的過(guò)程中遇到了以下問(wèn)題,請(qǐng)你幫忙來(lái)解決.
(1)這個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)要怎樣建面積能最大?求出這個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬;
(2)在(1)的前提條件下,要在墻上選一個(gè)點(diǎn)P,用不可伸縮的繩子分別連接BP,CP,點(diǎn)P取在何處所用繩子長(zhǎng)最短?
(3)仍然是矩形養(yǎng)雞場(chǎng)面積最大的情況下,若把(2)中的不可伸縮的繩子改為可以伸縮且有彈性的繩子,點(diǎn)P可以在墻上自由滑動(dòng),求sin∠BPC的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,以BC為底邊的等腰,點(diǎn)D,E,G分別在BC,AB,AC上,且,,延長(zhǎng)GE至點(diǎn)F,使得.
求證:四邊形BDEF為平行四邊形;
當(dāng),時(shí),聯(lián)結(jié)DF,求線段DF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等邊的邊長(zhǎng)為2,現(xiàn)將等邊放置在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B和原點(diǎn)重合,點(diǎn)C在x軸正方向上,直線交x軸于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E,且如圖,現(xiàn)將等邊從圖1的位置沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng),邊AB、AC分別與線段DE交于點(diǎn)G、如圖,同時(shí)點(diǎn)P從的頂點(diǎn)B出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí)即停止活動(dòng),也隨之停止移動(dòng),設(shè)平移的時(shí)間為.
試求直線DE的解析式;
當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)H的距離為y,求y與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出定義域;
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),中恰好有一個(gè)角的度數(shù)為,請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值,不必寫(xiě)過(guò)程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校去年在某商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種不同足球,購(gòu)買(mǎi)甲種足球共花費(fèi)2400元,購(gòu)買(mǎi)乙種足球共花費(fèi)1600元,購(gòu)買(mǎi)甲種足球數(shù)量是購(gòu)買(mǎi)乙種足球數(shù)量的2倍.且購(gòu)買(mǎi)一個(gè)乙種足球比購(gòu)買(mǎi)一個(gè)甲種足球多花20元.
(1)求購(gòu)買(mǎi)一個(gè)甲種足球、一個(gè)乙種足球各需多少元;
(2)今年學(xué)校為編排“足球操”,決定再次購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種足球共50個(gè).如果兩種足球的單價(jià)沒(méi)有改變,而此次購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種足球的總費(fèi)用不超過(guò)3500元,那么這所學(xué)校最少可購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)甲種足球?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某區(qū)在實(shí)施居民用水額定管理前,對(duì)居民生活用水情況進(jìn)行了調(diào)查,下表是通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的50個(gè)家庭去年月平均用水量(單位:噸),并將調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行如下整理:
4.7 2.1 3.1 2.3 5.2 2.8 7.3 4.3 4.8 6.7
4.5 5.1 6.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.5
3.5 3.5 3.6 4.9 3.7 3.8 5.6 5.5 5.9 6.2
5.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.2 6.4 3.5
4.5 4.5 4.6 5.4 5.6 6.6 5.8 4.5 6.2 7.5
頻數(shù)分布表
分組 | 劃記 | 頻數(shù) |
2.0<x≤3.5 | 正正 | 11 |
3.5<x≤5.0 | 19 | |
5.0<x≤6.5 | ||
6.5<x≤8.0 | ||
8.0<x≤9.5 | 2 | |
合計(jì) | 50 |
(1)把上面頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;
(2)從直方圖中你能得到什么信息?(寫(xiě)出兩條即可);
(3)為了鼓勵(lì)節(jié)約用水,要確定一個(gè)用水量的標(biāo)準(zhǔn),超出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的部分按1.5倍價(jià)格收費(fèi),若要使60%的家庭收費(fèi)不受影響,你覺(jué)得家庭月均用水量應(yīng)該定為多少?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.
(1)如圖①,若AB∥CD,點(diǎn)P在AB,CD外部,則有 ∠B=∠BOD,又因?yàn)椤螧OD是△POD的外角,故∠BOD=∠BPD+∠D,得∠BPD=∠B-∠D.將點(diǎn)P移到AB,CD內(nèi)部,如圖②,以上結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不成立,則∠BPD,∠B,∠D之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論;
(2)在圖②中,將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q,如圖③,則∠BPD,∠B,∠D,∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系?(不需證明)
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,求圖④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).
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