Question

已知直線y₁=x+b與雙曲線y₂=

6

x

相交于A、B兩點(diǎn)，且當(dāng)x＞1時，y₁＞y₂；當(dāng)0＜x＜1時，y₁＜y₂．
（1）求b的值及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)C在y₂=

6

x

（x＞0）上，且AC⊥AB．求證：B、C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對稱．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）判斷出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是1，然后利用反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再代入直線解析式計算即可求出b的值，聯(lián)立兩函數(shù)解析式，解方程組即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)AC⊥AB，設(shè)直線AC的解析式為y=-x+c，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入求出c的值，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后與雙曲線解析式聯(lián)立求解得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征證明．

解答：（1）解：∵當(dāng)x＞1時，y₁＞y₂；當(dāng)0＜x＜1時，y₁＜y₂，
∴點(diǎn)A、B有一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，不妨設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
代入反比例函數(shù)解析式得，y=

6

1

=6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，6），
把點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線得，1+b=6，
解得b=5，
聯(lián)立

y= 6 x y=x+5

，
解得

x1=1 y1=6

，

x2=-6 y2=-1

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6，-1），
故b的值為5，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，6），（-6，-1）；

（2）證明：∵AC⊥AB，直線AB的解析式為y=x+5，
∴設(shè)直線AC的解析式為y=-x+c，
把點(diǎn)A（1，6）代入得，-1+c=6，
解得c=7，
所以，直線AC的解析式為y=-x+7，
聯(lián)立

y=-x+7 y= 6 x

，
解得

x1=1 y1=6

，

x2=6 y2=1

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，1），
∵B（-6，-1），
∴B、C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對稱．

點(diǎn)評：本題是反比例函數(shù)綜合題，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，本題難點(diǎn)在于根據(jù)函數(shù)值的大小判斷出點(diǎn)A、B中有一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1，從而求出交點(diǎn)坐標(biāo)，這也是解答本題的突破口．