【題目】如圖1,已知拋物線y1x2+mx與拋物線y2ax2+bx+c的形狀相同,開口方向相反,且相交于點A(﹣3,﹣6)和點B16).拋物線y2x軸正半軸交于點C,P為拋物線y2AB兩點間一動點,過點PPQy軸,與y1交于點Q

1)求拋物線y1與拋物線y2的解析式;

2)四邊形APBO的面積為S,求S的最大值,并寫出此時點P的坐標(biāo);

3)如圖2y2的對稱軸為直線l,PCl交于點E,在(2)的條件下,直線l上是否存在一點T,使得以TE、C為頂點的三角形與APQ相似?如果存在,求出點T的坐標(biāo);如果不存在,說明理由.

【答案】(1)y2=﹣x2+x+6;(2)當(dāng)t=﹣1時,S最大16,此時P的坐標(biāo)為(﹣1,4);(3)存在點T的坐標(biāo)使得T、C、E為頂點的三角形與△PAQ相似.

【解析】

1)分別利用待定系數(shù)法求兩個二次函數(shù)的解析式;

2)設(shè)點P橫坐標(biāo)為t,則Pt,﹣t2+t+6),Qt,t2+5t),表示PQ的長,根據(jù)兩三角形面積和可得St的關(guān)系式,配方后可得S的最大值;

3)先確定∠AQB135°,所以分情況討論可得結(jié)論.

解:(1)將B1,6)代入y1x2+mx得:m5

y1x2+5x,

y2y1形狀相同,開口相反,

a=﹣1,

y2=﹣x2+bx+c

A(﹣3,﹣6)、B16)代入得,

,

解得:b1c6,

y2=﹣x2+x+6

2)設(shè)點P橫坐標(biāo)為t,

Pt,﹣t2+t+6),Qt,t2+5t),

PQ=﹣t2+t+6t25t=﹣2t24t+6

S四邊形APBQ

=﹣4t+12+16;

∴當(dāng)t=﹣1時,S最大16,此時P的坐標(biāo)為(﹣1,4);

3)存在點T,

y2=﹣x2+x+6,得直線l為:x,

由(2)知P點的坐標(biāo)為(﹣1,4),

當(dāng)x=﹣1時,y1=(﹣12+5×(﹣1)=﹣4,

Q點的坐標(biāo)為(﹣1,﹣4),

A為(﹣3,﹣6),

令﹣x2+x+60得:C為(30),

如圖2,設(shè)PQx軸交于點G,直線lx軸交于點M,

AHPQ的延長線,垂足為點H,易知AH2,HQ=﹣4﹣(﹣6)=2,

∴∠AQH45°

∴∠AQP180°45°135°,

PG4,CG3+14,

∴∠ECO45°,

T點在E的上方∠CET135°

MC3,ECMC

AQAH2,PQ8

存在兩種情況:

①若PAQ∽△TCE,則

TE10,此時T的坐標(biāo)為,

②若PAQ∽△CTE,則

TE,此時T的坐標(biāo)為,

綜上可知存在點T的坐標(biāo)使得T、C、E為頂點的三角形與PAQ相似.

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轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n

100

150

200

500

800

1000

落在鉛筆區(qū)域的次數(shù)m

68

108

140

355

560

690

落在鉛筆區(qū)域的頻率

0.68

0.72

0.70

0.71

0.70

0.69

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