Question

【題目】如圖1，已知⊙O是ΔADB的外接圓，∠ADB的平分線DC交AB于點M，交⊙O于點C，連接AC，BC.

（1）求證：AC=BC；

（2）如圖2，在圖1 的基礎上做⊙O的直徑CF交AB于點E，連接AF，過點A作⊙O的切線AH，若AH//BC，求∠ACF的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，若ΔABD的面積為，ΔABD與ΔABC的面積比為2：9，求CD的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）30°；（3）

【解析】

（1）運用“在同圓或等圓中，弧相等，所對的弦相等”可求解；

（2）連接AO并延長交BC于I交⊙O于J,由AH是⊙O的切線且AH∥BC得AI⊥BC，易證∠IAC=30°，故可得∠ABC=60°=∠F=∠ACB，由CF是直徑可得∠ACF的度數(shù)；

（3）過點D作DG⊥AB ，連接AO，知ABC為等邊三角形，求出AB、AE的長，在RtΔAEO中，求出AO的長，得CF的長，再求DG 的長，運用勾股定理易求CD的長.

（1）∵DC平分∠ADB，∴∠ADC=∠BDC， ∴AC=BC．

（2）如圖，連接AO并延長交BC于I交⊙O于J

∵AH是⊙O的切線且AH∥BC，

∴AI⊥BC，

∴BI=IC，

∵AC=BC，

∴IC=AC，

∴∠IAC=30°，

∴∠ABC=60°=∠F=∠ACB．

∵FC是直徑，

∴∠FAC=90°，

∴∠ACF=180°-90°-60°=30°．

（3）過點D作，連接AO

由（1）（2）知ABC為等邊三角形

∵∠ACF=30°，

∴，

∴AE=BE，

∴，

∴AB=，

∴．

在RtΔAEO中，設EO=x，則AO=2x，

∴，

∴，

∴x=6，⊙O的半徑為6，

∴CF=12．

∵，

∴DG=2．

如圖，過點D作,連接OD．

∵,，

∴CF//DG，

∴四邊形G′DGE為矩形，

∴，

，

在RtΔ中，，

∴，

∴