Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點E為△ABC內切圓的圓心，連接EB的延長線交AC于點F，交⊙O于點D，連接AD，過點D作直線DN，使∠ADN＝∠DBC.

(1)求證：直線DN是⊙O的切線；

(2)若DF＝1，且BF＝3，求AD的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)AD=.

【解析】

(1)根據(jù)垂徑定理的推論即可得到OD⊥AC，再根據(jù)∠ADN＝∠DAC，即可判定AC∥DN，進而得到OD⊥DN，據(jù)此可得直線DN是⊙O的切線.

(2)根據(jù)三角形內心的定義以及圓周角定理，得到∠AED＝∠EAD，即可得出DA＝DE，再判定△DAF∽△DBA，即可得到DA2＝DFDB，據(jù)此解答即可.

解： (1)證明：如圖所示，連接OD，

∵點E是△ABC的內心，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴，

∴OD⊥BC，

又∵∠ADN＝∠DBC，∠DBC＝∠DAC，

∴∠ADN＝∠DAC，

∴AC∥DN，

∴OD⊥DN，

又∵OD為⊙O半徑，

∴直線DN是⊙O的切線；

(2)∵，

∴∠DAF＝∠DBA，

又∵∠ADF＝∠ADB(公共角)，

∴△DAF∽△DBA，

∴，即DA2＝DFDB，

∵DF＝2，BF＝3，

∴DB＝DF+BF＝5

∴DA2＝DFDB＝10

∴DA＝DE＝.