Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個頂點(diǎn)B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)C．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動．同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動．點(diǎn)P，Q的運(yùn)動速度均為每秒1個單位．運(yùn)動時間為t秒．過點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E．

（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，交拋物線于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時，△ACG的面積最大？最大值為多少？

（3）在動點(diǎn)P，Q運(yùn)動的過程中，當(dāng)t為何值時，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H，使以C，Q，E，H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）A（1，4）；y=﹣x2+2x+3；（2）當(dāng)t=2時，S△ACG的最大值為1；（3）t=20﹣8 或t= ．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可以寫出點(diǎn)A得到坐標(biāo)；由頂點(diǎn)A的坐標(biāo)可設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)式方程為y=a（x-1）2+4，然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，即可求得系數(shù)a的值（利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式）；（2）利用待定系數(shù)法求得直線AC的方程y=-2x+6；由圖形與坐標(biāo)變換可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，4-t），據(jù)此可以求得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，將其代入直線AC方程可以求得點(diǎn)E或點(diǎn)G的橫坐標(biāo)；然后結(jié)合拋物線方程、圖形與坐標(biāo)變換可以求得GE=4-、點(diǎn)A到GE的距離為，C到GE的距離為2-；最后根據(jù)三角形的面積公式可以求得S△ACG=S△AEG+S△CEG=-（t-2）2+1，由二次函數(shù)的最值可以解得t=2時，S△ACG的最大值為1；（3）因?yàn)榱庑问青忂呄嗟鹊钠叫兴倪呅�，所以點(diǎn)H在直線EF上．

試題解析：

(1)A(1，4).

由題意知，可設(shè)拋物線解析式為y=a(x1)2+4，

∵拋物線過點(diǎn)C(3，0)，

∴0=a(31)2+4，

解得，a=1，

∴拋物線的解析式為y=(x1)2+4,即y=x2+2x+3.

(2)∵A(1，4)，C(3，0)，

∴可求直線AC的解析式為y=2x+6.

∵點(diǎn)P(1，4t).

∴將y=4t代入y=2x+6中,解得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x=1+.

∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1+，代入拋物線的解析式中，可求點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為4.

∴GE=(4)(4t)=t.

又∵點(diǎn)A到GE的距離為,C到GE的距離為2，

即S△ACG=S△AEG+S△CEG=EG+EG(2)

=2(t)= (t2)2+1.

當(dāng)t=2時，S△ACG的最大值為1.

(3)第一種情況如圖1所示,點(diǎn)H在AC的上方,由四邊形CQEH是菱形知CQ=CE=t,

根據(jù)△APE∽△ABC，知

，即，解得t=20；

第二種情況如圖2所示，

點(diǎn)H在AC的下方，由四邊形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t,EM=2t，MQ=42t.

則在直角三角形EMQ中,根據(jù)勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即(2t)2+(42t)2=t2，

解得,t1=,t2=4(不合題意,舍去).

綜上所述,t=20或t=.