Question

14．如圖，AB、CD為⊙O的直徑，E為OA的中點(diǎn)，直線CE交⊙O于另一點(diǎn)F，連接DF，若⊙O的半徑為4，DF=$\sqrt{15}$，CE＜EF
1）求證：△ACE∽△FBE；
2）求CE的長(zhǎng)；
3）以F為圓心，DF為半徑的圓與直線AB有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

Answer 1

分析 （1）由∠ACE=∠FBE、∠AEC=∠FEB可證得；
（2）RT△CFD中由勾股定理得：CE+EF=7，由△ACE∽△FBE得：CE•EF=AE•BE=12，根據(jù)韋達(dá)定理可知CE、EF是方程x²-7x+12=0的兩實(shí)數(shù)根，結(jié)合CE＜EF可得CE長(zhǎng)；
（3）過點(diǎn)F作FG⊥OE于點(diǎn)G，在等腰△FEO中求出FG的長(zhǎng)即可判斷．

解答 解：（1）∠ACE與∠FBE是$\widehat{AF}$所對(duì)圓周角，
∴∠ACE=∠FBE，
又∵∠AEC=∠FEB，
∴△ACE∽△FBE；
（2）∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CFD=90°，
在RT△CFD中，CD=8，DF=$\sqrt{15}$，
∴CF=7，即CE+EF=7，
∵E是OA的中點(diǎn)，
∴AE=EO=2，BE=6，
∵△ACE∽△FBE，
∴$\frac{CE}{BE}=\frac{AE}{EF}$，即CE•EF=AE•BE=12，
∴CE、EF是方程x²-7x+12=0的兩實(shí)數(shù)根，
∵CE＜EF，
∴CE=3，EF=4；
（3）以F為圓心，DF為半徑的圓與直線AB相切，
如圖，連接OF，過點(diǎn)F作FG⊥OE于點(diǎn)G，

∵EF=0F=4，
∴OG=EG=1，
在RT△OFG中，F(xiàn)G=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴FG=DF，
∴以F為圓心，DF為半徑的圓與直線AB相切．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、韋達(dá)定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)勾股定理、相似性質(zhì)得出CE+EF、CE•EF的值并利用韋達(dá)定理構(gòu)建一元二次方程是解題的關(guān)鍵．