Question

17．如圖，矩形OABC的邊OA在x軸上，雙曲線y=$\frac{k}{x}$與BC交于點D，與AB交于點E，DE=$\frac{1}{2}$OB，矩形OABC的面積為4，則k的值為2．

Answer 1

分析 設點A的橫坐標為a，根據矩形的面積表示出OC，再根據反比例函數圖象上的點的坐標特征表示出AE、CD，然后求出BD、BE，再利用勾股定理列式求出OB²、DE²，然后根據OB=2DE列出關于a、k的方程，求解得到k的值再根據矩形的面積判斷出k的取值范圍，從而得解．

解答 解：設點A的橫坐標為a，則OA=a，
∵矩形OABC的面積為4，
∴OC=$\frac{4}{a}$，
∴AE=$\frac{k}{a}$，
∵點D在BC上，
∴$\frac{k}{x}$=$\frac{4}{a}$，
解得：x=$\frac{ka}{4}$，
∴CD=$\frac{ka}{4}$，
∴BD=BC-CD=a-$\frac{ka}{4}$，
BE=AB-AE=$\frac{4}{a}$-$\frac{k}{a}$，
由勾股定理得，OB²=OA²+AB²=a²+（$\frac{4}{a}$）²=$\frac{1}{{a}^{2}}$（a⁴+16），
DE²=BD²+BE²=（a-$\frac{ka}{4}$）²+（$\frac{4}{a}$-$\frac{k}{a}$）²=$\frac{{a}^{2}}{16}$（4-k）²+$\frac{1}{{a}^{2}}$（4-k）²=$\frac{1}{16}$（4-k）²•$\frac{1}{{a}^{2}}$（a⁴+16），
∵OB=2DE，
∴OB²=4DE²，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$（a⁴+16）=4×$\frac{1}{16}$（4-k）²•$\frac{1}{{a}^{2}}$（a⁴+16），
∴（4-k）²=4，
解得k₁=2，k₂=6，
∵矩形OABC的面積為4，點B在雙曲線上方，
∴k＜4，
∴k的值為2．
故答案為：2．

點評 本題考查了矩形的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例函數系數k的幾何意義，利用勾股定理列式表示出OB²、MN²，然后得到關于k飛方程是解題的關鍵．