Question

5．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；
（2）當(dāng)AB=AC時，求證四邊形ADCF是矩形；
（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是菱形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）首先利用全等三角形的判定方法得出△AEF≌△DEB（AAS），進而得出AF=BD，再利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進而得出答案；
（2）由AB=AC，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得AD⊥BC，繼而可得四邊形ADCF是矩形；
（3）根據(jù)∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線，從而得到AD=$\frac{1}{2}$BC=DC，然后利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠EBD．  
在△AEF和△DEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠FEA=∠BED}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEB（AAS）．            
∴AF=BD．                   
∴AF=DC．
又∵AF∥BC，
∴四邊形ADCF為平行四邊形；

（2）∵AB=AC，AD是中線，
∴AD⊥BC，
∵四邊形ADCF是平行四邊形，
∴四邊形ADCF是矩形；

（3）當(dāng)∠BAC=90°時，四邊形ADCF是菱形．
證明：∵∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=DC，
∵四邊形ADCF是平行四邊形，
∴平行四邊形ADCF是菱形．

點評 本題考查了平行四邊形的判定、菱形的判定及矩形的判定的知識，解題的關(guān)鍵是牢記幾個判定定理，難度不大．