Question

【題目】如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作△ABD的外接圓，將△ADC沿直線AD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在上．

（1）求證：AE=AB；

（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BC=

【解析】

（1）由翻折的性質(zhì)得出△ADE≌△ADC，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等得出∠AED=∠ACD，AE=AC，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得出∠ABD=∠AED，根據(jù)等量代換得出∠ABD=∠ACD，根據(jù)等角對(duì)等邊得出AB=AC，從而得出結(jié)論；（2）如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，根據(jù)等腰三角形的三線合一得出BH=EH=1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及圓周角定理得出∠ABE=∠AEB=ADB，根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等及余弦函數(shù)的定義得出BH∶AB = 1∶3,從而得出AC=AB=3，在Rt三角形ABC中，利用勾股定理得出BC的長(zhǎng).

（1）由題意得△ADE≌△ADC，

∴∠AED=∠ACD，AE=AC

∵∠ABD=∠AED，

∴∠ABD=∠ACD

∴AB=AC

∴AE=AB

（2）如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H

∵AB=AE，BE=2

∴BH=EH=1

∵∠ABE=∠AEB=ADB，cos∠ADB=

∴cos∠ABE=cos∠ADB=

∴ =

∴AC=AB=3

∵∠BAC=90°，AC=AB

∴BC=