Question

【題目】我們定義:如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊,那么這個(gè)三角形叫做“等高底”三角形,這條邊叫做這個(gè)三角形的“等底”。

（1）概念理解:

如圖1,在中, ,.,試判斷是否是“等高底”三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）問題探究:

如圖2, 是“等高底”三角形,是“等底”，作關(guān)于所在直線的對(duì)稱圖形得到,連結(jié)交直線于點(diǎn).若點(diǎn)是的重心,求的值.

（3）應(yīng)用拓展:

如圖3,已知,與之間的距離為2.“等高底”的“等底” 在直線上,點(diǎn)在直線上,有一邊的長(zhǎng)是的倍.將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到,所在直線交于點(diǎn).求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（3）的值為,,2

【解析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥直線CB于點(diǎn)D，可以得到AD=BC=3，即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù) ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，得到AD=BC， 再由 ΔA′BC與ΔABC關(guān)于直線BC對(duì)稱， 得到 ∠ADC=90°，由重心的性質(zhì)，得到BC=2BD．設(shè)BD=x，則AD=BC=2x， CD=3x ，由勾股定理得AC=x，即可得到結(jié)論；

（3）分兩種情況討論即可：①當(dāng)AB=BC時(shí)，再分兩種情況討論；

②當(dāng)AC=BC時(shí)，再分兩種情況討論即可．

（1）是．理由如下：

如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥直線CB于點(diǎn)D，

∴ΔADC為直角三角形，∠ADC=90°．

∵ ∠ACB=30°，AC=6，∴ AD=AC=3，

∴ AD=BC=3，

即ΔABC是“等高底”三角形．

（2）如圖2， ∵ ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD=BC，

∵ ΔA′BC與ΔABC關(guān)于直線BC對(duì)稱， ∴ ∠ADC=90°．

∵點(diǎn)B是ΔAA′C的重心， ∴ BC=2BD．

設(shè)BD=x，則AD=BC=2x，∴CD=3x ，

∴由勾股定理得AC=x，

∴．

（3）①當(dāng)AB=BC時(shí)，

Ⅰ．如圖3，作AE⊥l1于點(diǎn)E， DF⊥AC于點(diǎn)F．

∵“等高底” ΔABC的“等底”為BC，l1//l2，

l1與l2之間的距離為2， AB=BC，

∴BC=AE=2，AB=2，

∴BE=2，即EC=4，∴AC= ．

∵ ΔABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到ΔA' B' C，∴∠CDF=45°．

設(shè)DF=CF=x ．

∵l1//l2，∴∠ACE=∠DAF，∴，即AF=2x．

∴AC=3x=，可得x=，∴CD=x=．

Ⅱ．如圖4，此時(shí)ΔABC是等腰直角三角形，

∵ ΔABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到ΔA' B' C，

∴ ΔACD是等腰直角三角形，

∴ CD=AC=．

②當(dāng)AC=BC時(shí)，

Ⅰ．如圖5，此時(shí)△ABC是等腰直角三角形．

∵ ΔABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到ΔA′ B′C，

∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2．

Ⅱ．如圖6，作AE⊥l1于點(diǎn)E，則AE=BC，

∴AC=BC=AE，∴∠ACE=45°，

∴ΔABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到ΔA′ B′C時(shí)，

點(diǎn)A′在直線l1上，

∴A′C∥l2，即直線A′ C與l2無(wú)交點(diǎn)．

綜上所述：CD的值為，，2．