Question

5．如圖（1），在平面直角坐標系中，已知點A（4，0），點B（0，3）．沿x軸向右平移Rt△ABO，得Rt△A′B′O′，直線O′B′與AB或BA的延長線相交于點D．設D（x，y）（x＞0），以點A，A′，B′，D為頂點的四邊形面積記為S．

（Ⅰ）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）用含x（x≠4）的式子表示S；
（Ⅲ）當$S=\frac{10}{3}$，求點D的坐標（直接寫出結(jié)果）．（圖2為備用圖）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平行得到相似，得到比例式求出函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）分兩種情況計算①當 0＜x＜4時，點D在AB上，②當x＞4時，點D在BA延長線上，利用面積的和差求解；
（Ⅲ）將S=$\frac{10}{3}$代如面積函數(shù)關(guān)系中，求出x的值，再代入函數(shù)關(guān)系式中求解即可．

解答 解：（Ⅰ）當點O'與點A不重合時，
∵B'O'∥OB，
∴△ADO'∽△ABO．
∴$\frac{DO'}{BO}=\frac{AO'}{AO}$．
如圖（1），

點D在AB上，
有AO'=AO-O'O=4-x．
∴$\frac{y}{3}=\frac{4-x}{4}$．
即：y=-$\frac{3}{4}$x+3．
如圖（2），

點D在BA延長線上，
有AO'=O'O-AO=x-4．
∴$\frac{-y}{3}=\frac{x-4}{4}$．
即：y=-$\frac{3}{4}$x+3．
當點O'與點A重合時，D與A重合，此時，x=4，y=0．
∴y與x的關(guān)系是：y=-$\frac{3}{4}$x+3．
（Ⅱ）①如圖（1），當 0＜x＜4時，點D在AB上，
有 S_{四邊形AA'B'D}=S_△A'B'O'-S_△ADO'．
∴S=$\frac{1}{2}$′O′×B′O′-$\frac{1}{2}$AO′×DO′
把 DO′=y=-$\frac{3}{4}$x+3，代入，
得S=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×（4-x）×（-$\frac{3}{4}$x+3）．
∴S=-$\frac{3}{8}$x²+3x（0＜x＜4）．
②如圖（2），當x＞4時，點D在BA延長線上，
∵平移△AOB得到△A'O'B'，
∴OO'=AA'=x，O'D=|y|=-y．
∵S_{四邊形ADA'B}'=S_△AA'D+S_△AA'B'
∴S=S_△AA′B′+S_△AA′D=$\frac{1}{2}$AA′×B′O′+$\frac{1}{2}$AA′×DO′．
把 y=-$\frac{3}{4}$x+3．代入，得S=$\frac{1}{2}$x×3+$\frac{1}{2}$x（-y）=$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$x（-$\frac{3}{4}$x+3）=$\frac{3}{8}$x²．
綜上，$S=\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{8}{x^2}+3，0＜x＜4\\ \frac{3}{8}{x^2}，x＞4.\end{array}\right.$
（Ⅲ）D（$\frac{4}{3}$，2）
把S=$\frac{10}{3}$代入S=-$\frac{3}{8}$x²+3x，得 x₁=$\frac{4}{3}$，x₂=$\frac{20}{3}$＞4（舍）．
把x=$\frac{4}{3}$，代入y=-$\frac{3}{4}$x+3，得y=2．
∴D（$\frac{4}{3}$，2）；
把S=$\frac{10}{3}$代入S=$\frac{3}{8}$x²，得x₁=-$\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$（舍），x₂=$\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$（舍）．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了幾何圖形面積的計算方法，相似三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是計算圖形的面積．