Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，且， 滿足，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．

（1） 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）， 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）；

（2）如圖1，已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) 和軸上一點(diǎn)， ，點(diǎn)在直線AB上且位于軸右側(cè)圖象上一點(diǎn)，連接，且．

①求點(diǎn)坐標(biāo)；

②將沿直線AM 平移得到，平移后的點(diǎn)與點(diǎn)重合，為 上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)的值最小時(shí)，請(qǐng)求出最小值及此時(shí) N 點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖 2，將點(diǎn)向左平移 2 個(gè)單位到點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)沿著軸正方向運(yùn)動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交軸于點(diǎn)，在直線上是否存在點(diǎn)，使得是等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）-1，0；0，-3；（2）①點(diǎn)；②點(diǎn)，最小值為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．

【解析】

（1）根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)和為0的性質(zhì)即可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）①先求得直線AB的解析式，根據(jù)求得，繼而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求得答案；

②先求得直線AM的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)過(guò)軸的平行線交直線與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求得，即為最小值，即點(diǎn)為所求，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再求得的長(zhǎng)即可；

（3）先求得直線BD的解析式，設(shè)點(diǎn)，同理求得直線的解析式，求出點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，證得，分∠QGE為直角、∠EQG為直角、∠QEG為直角，三種情況分別求解即可．

（1）∵，

∴，，

則，

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：，

故答案為：；；

（2）①直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和軸上一點(diǎn)，，

∴，

由(1)得：點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：，則，，

設(shè)直線AB的解析式為：，

∴

解得：

∴直線AB的解析式為：，

∵

∴

作⊥軸于，

∴，

∴，

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

又點(diǎn)在直線AB上，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②由(1)得：點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：，則，，

∴，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，

設(shè)直線AM的解析式為：，

∴

解得：

∴直線AM的解析式為：，

根據(jù)題意，平移后點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)過(guò)軸的平行線交直線與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖1，

∴∥，

∵，

∴，

則，

為最小值，即點(diǎn)為所求，

則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同都是，

點(diǎn)N在直線AM上，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，

∴，

；

（3）根據(jù)題意得：

點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，

設(shè)直線的解析式為：，

∴，

解得：，

∴直線BD的解析式為：，

設(shè)點(diǎn)，同理直線的解析式為：，

∵，

∴設(shè)直線的解析式為：，

當(dāng)時(shí)，，則，

則直線的解析式為： ，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，

即，

①當(dāng)為直角時(shí)，

如下圖，

∵為等腰直角三角形，

∴，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的解析式并解得：，

故點(diǎn)；

②當(dāng)為直角時(shí)，

如下圖，作于，

∵為等腰直角三角形，

∴，，

∴∥軸，、和都是底邊相等的等腰直角三角形，

∴，

∴，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的解析式并解得：，

故點(diǎn)；

③當(dāng)為直角時(shí)，

如下圖，

同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的解析式并解得：，

故點(diǎn)；

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．