Question

13．如圖，AB是半圓O的直徑，CD⊥AB于點C，交半圓于點E，DF切半圓于點F，已知$∠AEF=135°，OC=CE，BF=2\sqrt{2}$，求DE的長．

Answer 1

分析 首先證明四邊形CODF是矩形，△BOF是等腰直角三角形，求出CD、CE即可解決問題．

解答 解：如圖，連接OE、OF．

∵∠AEF+∠B=180°，∠AEF=135°，
∴∠B=45°，
∴∠AOF=2∠B=90°，
∴∠B=∠OFB=45°，
∴OF=OB，∵BF=2$\sqrt{2}$，
∴OF=OB=2，
∵DF是切線，
∴DF⊥OF，
∴∠DFO=90°，
∴DC⊥AB，
∴∠DCO=∠COF=∠DFO=90°，
∴四邊形OCDF是矩形，
∴DC=OF=2，
∵CE=CO，EO=2，
∴CE=CO=$\sqrt{2}$，
∴DE=DC-CE=2-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理．垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，尋找特殊三角形或特殊四邊形是解題的突破口，屬于中考常考題型．