【題目】已知:在平面直角坐標(biāo)系中,等腰Rt△ABC的頂點A、C在坐標(biāo)軸上運(yùn)動,且∠ACB=90°,AC=BC.
(1)如圖1,當(dāng)A(0,-2),C(1,0),點B在第四象限時,則點B的坐標(biāo)為_____;
(2)如圖2,當(dāng)點C在x軸正半軸上運(yùn)動,點A在y軸正半軸上運(yùn)動,點B在第四象限時,作BD⊥y軸于點D,試判斷與哪一個是定值,并說明定值是多少?請證明你的結(jié)論.
(3)如圖3,當(dāng)點C在y軸正半軸上運(yùn)動,點A在x軸正半軸上運(yùn)動,使點D恰為BC的中點,連接DE,求證:∠ADC=∠BDE.
【答案】(3,-1)
【解析】試題分析
(1)如下圖1,過點B作BD⊥x軸于點D,結(jié)合已知條件證△OAC≌△DCB,就可求得BD和OD的長,從而可得點B的坐標(biāo);
(2)如下圖2,過點B作BE⊥x軸于點E,結(jié)合已知條件可證得△OAC≌△ECB,四邊形ODBE是矩形,這樣就可得到:CE=OA,BD=OE,所以OC-BD=OC-OE=CE,從而可得: ;
(3)如下圖3,過點B作BG⊥BC于點B,交y軸于點G,結(jié)合已知條件可證△CBG≌△ACD,從而可得:∠ADC=∠CGB,BG=CD,結(jié)合CD=BD可得BD=BG;再證∠DBE=∠GBE=45°,就可結(jié)合BE=BE,證得△DBE≌△GBE,從而可得∠BDE=∠BGE,結(jié)合∠ADC=∠CGB就可證得:∠ADC=∠BDE.
試題解析:
(1)∵點A的坐標(biāo)為:(0,-2),點C的坐標(biāo)為:(1,0),
∴OA=2,OC=1,
作BD⊥CD,
∵∠OCA+∠DCB=90°,∠OAC+∠DCB=90°,
∴∠OAC=∠DCB,
∵在△OAC和△DCB中,
∴△OAC≌△DCB,(AAS)
∴CD=OA=2,BD=OC=1,OD=3,
∴B點坐標(biāo)為(3,-1);
(2)作BE⊥OC,則四邊形ODBE為矩形,
∵∠ACO+∠BCO=90°,∠ACO+∠OAC=90°,
∴∠BCO=∠CAO,
∵△OAC和△ECB中,
∴△OAC≌△ECB,(AAS)
∴EC=OA,
∵四邊形ODBE為矩形,
∴OE=BD,
∵OC=OE+EC,
∴OC=AO+BD,
∴OC-BD=OA,
∴ ,即是定值,且定值為1;
(3)過點B作BG⊥BC交y軸于點G,
∴∠CBG=∠ACD=90°,
∵∠BCG+∠ACG=90°,∠ACO+∠DCO=90°,
∴∠DCO=∠CAO.
在△BCG和△CAD中,
∴△BCG≌△CAD(ASA),
∴BG=CD=BD,∠BGE=∠ADC,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠ABC=∠BAC=45°,
又∵∠CBG=90°,
∴∠EBG=∠DBE=45°,
在△DBE和△GBE中,
∴△DBE≌△GBE(SAS),
∴∠BDE=∠BGE,
由∵∠BGE=∠ADC,
∴∠ADC=∠BDE.
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