【題目】已知直線l與直線l外一點P,求作:過點P且垂直于直線l的垂線a(尺規(guī)作圖).
現(xiàn)給出一種作法,如下:
步驟一:在直線l外取一點E,以點P為圓心,以線段PE為半徑畫弧,交直線l于點M,N;
步驟二:分別以點M、N為圓心,大于線段MN為半徑畫弧,過兩弧的交點的直線a就是所求作的垂線.
(1)按上述操作步驟,請成功作出過點P且垂直于直線l的垂線a.(符合要求的一種圖形),并說明理由.
(2)從你作圖的過程中,思考要保證這種作法順利作出,線段PE應(yīng)該滿足什么條件?
(3)為了避免這種情況產(chǎn)生,小明說只要在直線l上取點E好了,并給出了畫法,畫法對嗎?請說明理由.
(作法:在直線l上取兩點B、D,以P為圓心,以PD 為半徑畫圓交直線l于點E,以P為圓心,以PB 為半徑畫圓交直線l于點F,其中較小圓分別交PB,PF于點M、N,連接E、N和D、M,EN和MD相交于點H,則PH就是所求的垂線.)
(4)請在直線l上取點E,用直尺和圓規(guī)過點P且垂直于直線l的垂線a(與小明不同的方法,并要求盡可能簡單).
【答案】答案見解析.
【解析】試題分析:(1)、分點E、點P在直線l的異側(cè)、同側(cè)兩種情況來分別進行討論,從而根據(jù)圓的性質(zhì)得出答案;(2)、根據(jù)第一題的情況分析得出線段PE要大于點P到直線的距離;(3)、連接MN,根據(jù)題意得出△PMH和△PNH全等,然后根據(jù)圓心角的逆定理得出垂線;(4)、利用直徑所對的圓周角是直角.
試題解析:(1)、根據(jù)點E、點P與直線l的位置關(guān)系可分為兩種情況:
i)點E、點P在直線l的異側(cè),如圖1所示,
ii)點E、點P在直線l的同側(cè),再根據(jù)點P到直線l 的距離與半徑PE長度的比較,圓P與直線l的位置關(guān)系可分為三種情況:①圓P與直線l相交,且有兩個交點,如圖2;
②、圓P與直線l相交,且有一個交點,如圖3;③圓P與直線l相離,如圖4.
理由如下:
圖1,解法:根據(jù)第二步作法可得直線a是線段MN的中垂線a, ∵半徑PM=PN;
∴點P在線段MN的中垂線; ∴點P在直線a上;
圖2,解法:同第一題解法一樣;
圖3,圓P與直線l交點M,N重合,不符合要求,因此不予討論;
圖4中的圓P不能與直線l相交于點M、N兩點,因此不能做出直線a.
(2)、根據(jù)第一題的情況分析得出線段PE要大于點P到直線的距離.
(3)、正確.根據(jù)點E和點D在直線PH的同側(cè)(如圖6)或異側(cè)(如圖5)兩種畫法如下:
圖5理由: 連接MN,可得MN∥BF, ∴∠MNE=∠NED, ∴=, ∴∠NMD=∠MNE,
∴MH=NH, 由△PMH≌△PNH, ∴∠MPH=∠NPH, ∴PH平分弧MN,即PH垂直ED,
所以PH就是所求的垂線;
圖⑥理由:同圖⑤證明.
(4)、第一種方法,如圖7:
原理:利用直徑所對的圓周角是直角,即直徑PE所對的∠PBE是直角.
作法:在直線l上取一點E,連接PE,取線段PE中點O,以點O為圓心,線段PO為半徑作圓,交直線于點B,作直線PB就是所求的直線a;
第二種方法,如圖8:原理:由半徑PE=BE可得點E在線段PB的中垂線上,同理可得點A在線段BP的中垂線上,所以直線l是線段BP的中垂線,即直線BP就是所求的直線a;
作法:在直線l上取點E和點A,然后以點E為圓心,線段PE為半徑作圓,再以點A為圓心,線段PA為半徑作圓,兩圓相交于點P和點B.直線BP就是所求的直線a.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線PA交⊙O于A、B兩點,AE是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點,且AC平分∠PAE,過C作CD丄PA,垂足為D.
(1)求證:CD為⊙O的切線;
(2)若DC+DA=6,⊙O的直徑為10,求AB的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,若點A(a,﹣b)在第一象限內(nèi),則點B(a,b)所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】十八世紀瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的一個有趣的關(guān)系式,被稱為歐拉公式請你觀察下列幾種簡單多面體模型,解答下列問題:
(1)根據(jù)上面多面體的模型,完成表格中的空格:
多面體 | 頂點數(shù)(V) | 面數(shù)(F) | 棱數(shù)(E) |
四面體 | 4 | 4 | |
長方體 | 8 | 12 | |
正八面體 | 8 | 12 | |
正十二面體 | 20 | 12 | 30 |
(2)你發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的關(guān)系式是E=________;
(3)一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)大8,棱數(shù)為30,則這個多面體的面數(shù)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知P是⊙O外一點,PO交圓O于點C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,劣弧AB的度數(shù)為120°,連接PB.
(1)求BC的長;
(2)求證:PB是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中選擇一些橫、縱坐標滿足下面條件的點,標出它們的位置看看它們在第幾象限或哪條坐標軸上:
(1)點P(x,y)的坐標滿足xy>0;
(2)點P(x,y)的坐標滿足xy<0;
(3)點P(x,y)的坐標滿足xy=0.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩地相距200km,快車速度為120 ,慢車速度為80 ,慢車從甲地出發(fā),快車從乙地出發(fā),
(1)如果兩車同時出發(fā),相向而行,出發(fā)后幾時兩車相遇?相遇時離甲地多遠?
(2)如果兩車同時出發(fā),同向(從乙開始向甲方向)而行,出發(fā)后幾時兩車相遇?
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