【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,∠ABC=45°,AD=CD,CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E,在BC上截取BF=AE,連接AF交CE于點(diǎn)G,連接DG交AC于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC,垂足為N,AN交CE于點(diǎn)M.則下列結(jié)論;①CM=AF;②CE⊥AF;③△ABF∽△DAH;④GD平分∠AGC,其中正確的序號(hào)是__________.
【答案】①②③④.
【解析】試題分析:如解答圖所示:
結(jié)論①正確:證明△ACM≌△ABF即可;
結(jié)論②正確:由△ACM≌△ABF得∠2=∠4,進(jìn)而得∠4+∠6=90°,即CE⊥AF;
結(jié)論③正確:證法一:利用四點(diǎn)共圓;證法二:利用三角形全等;
結(jié)論④正確:證法一:利用四點(diǎn)共圓;證法二:利用三角形全等.
試題解析:(1)結(jié)論①正確.理由如下:
∵∠1=∠2,∠1+∠CMN=90°,∠2+∠6=90°,
∴∠6=∠CMN,又∵∠5=∠CMN,
∴∠5=∠6,
∴AM=AE=BF.
易知ADCN為正方形,△ABC為等腰直角三角形,
∴AB=AC.
在△ACM與△ABF中,
,
∴△ACM≌△ABF(SAS),
∴CM=AF;
(2)結(jié)論②正確.理由如下:
∵△ACM≌△ABF,
∴∠2=∠4,
∵∠2+∠6=90°,
∴∠4+∠6=90°,
∴CE⊥AF;
(3)結(jié)論③正確.理由如下:
證法一:∵CE⊥AF,
∴∠ADC+∠AGC=180°,
∴A、D、C、G四點(diǎn)共圓,
∴∠7=∠2,
∵∠2=∠4,
∴∠7=∠4,
又∵∠DAH=∠B=45°,
∴△ABF∽△DAH;
證法二:∵CE⊥AF,∠1=∠2,
∴△ACF為等腰三角形,AC=CF,點(diǎn)G為AF中點(diǎn).
在Rt△ANF中,點(diǎn)G為斜邊AF中點(diǎn),
∴NG=AG,
∴∠MNG=∠3,
∴∠DAG=∠CNG.
在△ADG與△NCG中,
,
∴△ADG≌△NCG(SAS),
∴∠7=∠1,
又∵∠1=∠2=∠4,
∴∠7=∠4,
又∵∠DAH=∠B=45°,
∴△ABF∽△DAH;
(4)結(jié)論④正確.理由如下:
證法一:∵A、D、C、G四點(diǎn)共圓,
∴∠DGC=∠DAC=45°,∠DGA=∠DCA=45°,
∴∠DGC=∠DGA,即GD平分∠AGC.
證法二:∵AM=AE,CE⊥AF,
∴∠3=∠4,又∠2=∠4,∴∠3=∠2
則∠CGN=180°-∠1-90°-∠MNG=180°-∠1-90°-∠3=90°-∠1-∠2=45°.
∵△ADG≌△NCG,
∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC,
∴GD平分∠AGC.
綜上所述,正確的結(jié)論是:①②③④,共4個(gè).
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(2,0)B(0,4).以AB為斜邊作等腰直角△ABC,則點(diǎn)C坐標(biāo)為__________
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,AC、DC為弦,∠ACD=60°,P為AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn),∠APD=30°.
(1)求證:DP是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為3cm,求圖中陰影部分的面積.
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【題目】(本題滿分12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將拋物線的對(duì)稱軸繞著點(diǎn)P(,2)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后與該拋物線交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)Q是該拋物線上的一點(diǎn).
(1)求直線AB的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如圖①,若點(diǎn)Q在直線AB的下方,求點(diǎn)Q到直線AB的距離的最大值;
(3)如圖②,若點(diǎn)Q在y軸左側(cè),且點(diǎn)T(0,t)(t<2)是直線PO上一點(diǎn),當(dāng)以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△PAT相似時(shí),求所有滿足條件的t的值.
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【題目】如圖所示,AD是△ABC的中線,AE⊥AB,AF⊥AC,且AE=AB,AF=AC,AD=3,AB=4.
(1)求AC長(zhǎng)度的取值范圍;
(2)求EF的長(zhǎng)度.
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【題目】我們定義:兩邊平方和等于第三邊平方的兩倍的三角形叫做“奇異三角形”.
(1)根據(jù)“奇異三角形”的定義,請(qǐng)你判斷命題:“等邊三角形一定是奇異三角形” 是 命題.(填寫(xiě)“真命題、假命題”)
(2)在RtΔABC中,∠ACB=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若RtΔABC是“奇異三角形”,則a:b:c= .
(3)如圖,在四邊形ACBD中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若在四邊形ACBD內(nèi)存在點(diǎn)E使得AE=AD,CB=CE.
①求證:ΔACE是“奇異三角形”;
②當(dāng)ΔACE是直角三角形時(shí),且AC=,求線段AB 的長(zhǎng).
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【題目】如圖,AD為△ABC的角平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,連接EF交AD于點(diǎn)G.
(1)求證:AD垂直平分EF;
(2)若∠BAC=60°,猜測(cè)DG與AG間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】如圖,A、D在反比例函數(shù)的圖像上,點(diǎn)B、C在反比例函數(shù)的圖像上,若AB∥CD∥軸,∥軸,且,,,則=______.
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