Question

29、如圖1，已知平行四邊形PQRS是⊙O的內(nèi)接四邊形．
（1）求證：平行四邊形PQRS是矩形．
（2）如圖2，如果將題目中的⊙O改為邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD，在AB、CD上分別取點(diǎn)P、S，連接PS，將Rt△SAP繞正方形中心O旋轉(zhuǎn)180°得Rt△QCR，從而得四邊形PQRS．試判斷四邊形RQRS能否變化成矩形？若能，設(shè)PA=x，SA=y，請(qǐng)說(shuō)明x、y具有什么關(guān)系時(shí)，四邊形PQRS是矩形；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）只需證明有一內(nèi)角為90°即可．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)及平行四邊形對(duì)角相等易得結(jié)論．
（2）根據(jù)中心對(duì)稱的定義易知四邊形PQRS為平行四邊形；若是矩形，則必有內(nèi)角為直角，不妨設(shè)∠QPS=90°，此時(shí)
需滿足△BPQ∽△ASP．即當(dāng)BP：BQ=AS：AP時(shí)，四邊形PQRS為矩形．

解答：證明：（1）∵平行四邊形PQRS內(nèi)接于⊙O，
∴∠Q+∠S=180°．
又∵∠Q=∠S，
∴∠Q=90°，
∴平行四邊形PQRS是矩形．
（2）∵Rt△SAP與Rt△QCR關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，
∴QS與PR被O點(diǎn)平分，四邊形PQRS為平行四邊形．
若平行四邊形PQRS變成矩形，不妨設(shè)∠QPS=90°．則∠BPQ+∠APS=90°．
又∵∠APS+∠ASP=90°，
∴∠BPQ=∠ASP，
∴△BPQ∽△ASP．
∴BP：BQ=AS：AP，
即 （a-x）：（a-y）=y：x，
整理得（x-y）（x+y-a）=0，
∴x=y或x+y=a．
∴當(dāng)x=y或x+y=a時(shí)，
可證得△BPQ∽△ASP，此時(shí)有∠QPS=90°，
從而得平行四邊形PQRS是矩形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的判定方法及相似三角形的判定和性質(zhì)，為開(kāi)放探索型綜合題，有一定難度．此類題常用分析法求解．