Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，且D在邊AB上，連結(jié)EC，取EC的中點(diǎn)M，連結(jié)DM和BM，將直角三角形ADE繞A點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，結(jié)論：△BMD為等腰直角三角形，成立嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：作出旋轉(zhuǎn)后圖形，延長(zhǎng)DM交AC于F，連接BD，BF，易證∠DEM=∠FCM，即可證明△DEM≌△FCM，可得DM=MF，DE=CF，即可求得AD=CF，即可證明△ADB≌△CFB，可得DB=BF，∠CBF=∠ABD，即可求得∠DBF=90°，即可證明△BDF為等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形底邊三線合一性質(zhì)即可解題．

解答：證明：結(jié)論成立，
理由：作出旋轉(zhuǎn)后圖形，延長(zhǎng)DM交AC于F，連接BD，BF，

∵在Rt△ABC中，AB=BC，∴∠BAC=45°，∵∠BAD=45°，∴∠DAC=90°，
∴DE∥AC，
∴∠DEM=∠FCM，
∵在△DEM和△FCM中，

∠DEM=∠FCM EM=CM ∠EMD=∠CMF

，
∴△DEM≌△FCM，（ASA）
∴DM=MF，DE=CF，
∵DE=AD，∴AD=CF，
∵在△ADB和△CFB中，

AD=CF ∠DAB=∠BCA=45° AB=BC

，
∴△ADB≌△CFB，（SAS）
∴DB=BF，∠CBF=∠ABD，
∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠ABD+∠ABF=90°，即∠DBF=90°，
∴△BDF為等腰直角三角形，
∴BM=DM，∠BMD=90°，
∴△BMD為等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，考查了等腰三角形底邊三線合一的性質(zhì)，本題中求證△DEM≌△FCM和△ADB≌△CFB是解題的關(guān)鍵．