Question

16．如圖，已知過點(diǎn)F（0，1）的動直線l交拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$于P、Q兩點(diǎn)，記點(diǎn)P到x軸的距離為d₁，點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離為d₂．
（1）猜想d₁與d₂的大小關(guān)系，并證明；
（2）分別過P、Q作x軸的垂線PM、QN，垂足為M、N，連接FM、FN，求證：∠MFN=90°；
（3）若線段PQ的長為4，求直線l所對應(yīng)一次函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)解析式用1個未知數(shù)t表示出P的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出P到x軸與到點(diǎn)F的距離，化簡可出兩者大小相等；
（2）于（1）可知：QF=QN，PF=PM，只要證明∠QFN+∠PFM=90°即可解決問題．
（3）設(shè)P（m，n），Q（a，b），直線PQ為y=kx+1，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$消去y得到，x²-2kx-1=0，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，經(jīng)常方程即可解決問題．

解答 （1）解：d₁=d₂，理由如下：
∵P為拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$上的點(diǎn)，
∴可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$），
∴點(diǎn)P到x軸的距離d₁=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$，
P到點(diǎn)F（0，1）的距離d₂=$\sqrt{{t}^{2}+（\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{1}{2}-1）^{2}}$=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$，
∴d₁=d₂．

（2）由（1）可知QN=QF，PF=PM，
∴∠QFN=∠QNF，∠PFM=∠PMF，
∵NQ∥PM，
∴∠NQF+∠FPM=180°，
∴2∠QFN+2∠PFM=180°，
∴∠QFN+∠PFM=90°，
∴∠NFM=90°．

（3）設(shè)P（m，n），Q（a，b），直線PQ為y=kx+1，
∴n=mk+1，b=ka+1，
∵PQ=4，
∴QN+PM=4，即n+b=4，
∴m+a=$\frac{2}{k}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$消去y得到，x²-2kx-1=0，
∴m+a=2k，
∴$\frac{2}{k}$=2k，
∴k=±1，
∴直線PQ的解析式為y=x+1，或y=-x+1．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)、根與系數(shù)關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．