Question

【題目】閱讀材料：如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xp，yp)．由xp－x1＝x2－xp，得xp＝，同理得yp＝，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為P(,).由勾股定理得AB2＝|x2－x1|2＋|y2－y1|2，所以A，B兩點(diǎn)間的距離公式為AB＝.

注：上述公式對(duì)A，B在平面直角坐標(biāo)系中其他位置也成立．

解答下列問(wèn)題：

如圖②，拋物線y＝ax2＋bx－3(a≠0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且BO＝OC＝3AO，連接BC.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBC是等腰三角形？若存在，試求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－2x－3（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)或(1， )或(1，－ )或(1，－3＋)或(1，－3－)

【解析】試題分析：（1）由拋物線y＝ax2＋bx－3交y軸于點(diǎn)C，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－3)，由BO＝OC＝3AO，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)．因?yàn)樵搾佄锞�與x軸交于A，B兩點(diǎn)，即可求出a、b的值；

（2）△PBC是等腰三角形，分以下三種情況：①當(dāng)PB＝PC；②當(dāng)BC＝PB；③當(dāng)BC＝PC時(shí)討論即可.

試題解析：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx－3交y軸于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－3)，

∴OC＝3.

∵BO＝OC＝3AO，

∴BO＝3，AO＝1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)．

∵該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，

∴解得.

∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2－2x－3；

(2)存在．由(1)知拋物線為y＝x2－2x－3，對(duì)稱軸為直線x＝1.設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，m)．

∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－3)，

∴BC＝3，PB＝，PC＝

.∵△PBC是等腰三角形，分以下三種情況：

①當(dāng)PB＝PC時(shí)，則＝，

∴m＝－1，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－1)；

②當(dāng)BC＝PB時(shí)，則3＝，

∴m＝±，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1， )或(1，－ )；

③當(dāng)BC＝PC時(shí)，則3＝，

∴m＝－3±，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－3＋)或(1，－3－)．

綜上所述，符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)或(1， )或(1，－ )或(1，－3＋)或(1，－3－)．