【題目】在⊙O 中,點(diǎn)C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),ACB=120°,點(diǎn)I是∠ABC的內(nèi)心,CI的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D,連結(jié)AD,BD.

(1)求證:AD=BD.

(2)猜想線段ABDI的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

(3)若⊙O的半徑為2,點(diǎn)E,F(xiàn)的三等分點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí),求點(diǎn)I隨之運(yùn)動(dòng)形成的路徑長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)AB=DI,理由見(jiàn)解析(3)

【解析】(1)根據(jù)內(nèi)心的定義可得CI平分∠ACB,可得出角相等,再根據(jù)圓周角定理,可證得結(jié)論;

(2)根據(jù)∠ACB=120°,∠ACD=∠BCD,可求出∠BAD的度數(shù),再根據(jù)AD=BD,可證得△ABD是等邊三角形,再根據(jù)內(nèi)心的定義及三角形的外角性質(zhì),證明∠BID=∠IBD,得出ID=BD,再根據(jù)AB=BD,即可證得結(jié)論;

(3)連接DO,延長(zhǎng)DO根據(jù)題意可知點(diǎn)I隨之運(yùn)動(dòng)形成的圖形式以D為圓心,DI1為半徑的弧,根據(jù)已知及圓周角定理、解直角三角形,可求出AD的長(zhǎng),再根據(jù)點(diǎn)E,F(xiàn)是 弧AB 的三等分點(diǎn),△ABD是等邊三角形,可證得∠DAI1=∠AI1D,然后利用弧長(zhǎng)的公式可求出點(diǎn)I隨之運(yùn)動(dòng)形成的路徑長(zhǎng).

(1)證明:∵點(diǎn)I是∠ABC的內(nèi)心

CI平分∠ACB

∴∠ACD=BCD

∴弧AD=BD

AD=BD

(2)AB=DI

理由∵∠ACB=120°,ACD=BCD

∴∠BCD=×120°=60°

∵弧BD=BD

∴∠DAB=BCD=60°

AD=BD

∴△ABD是等邊三角形,

AB=BD,ABD=C

IABC的內(nèi)心

BI平分∠ABC

∴∠CBI=ABI

∵∠BID=C+CBI,IBD=ABI+ABD

∴∠BID=IBD

ID=BD

AB=BD

AB=DI

(3)解:如圖,連接DO,延長(zhǎng)DO根據(jù)題意可知點(diǎn)I隨之運(yùn)動(dòng)形成的圖形式以D為圓心,DI1為半徑的弧

∵∠ACB=120°,AD=BD

∴∠AED=ACB=×120°=60°

∵圓的半徑為2,DE是直徑

DE=4,EAD=90°

AD=sinAED×DE=×4=2

∵點(diǎn)E,F(xiàn) AB 的三等分點(diǎn),ABD是等邊三角形,

∴∠ADB=60°

∴弧AB的度數(shù)為120°,

∴弧AM、弧BF的度數(shù)都為為40°

∴∠ADM=20°=FAB

∴∠DAI1=FAB+DAB=80°

∴∠AI1D=180°-ADM-DAI1=180°-20°-80°=80°

∴∠DAI1=AI1D

AD=I1D=2

∴弧I1I2的長(zhǎng)為:

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】己知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2

(1)求k的取值范圍;

(2)若=﹣1,求k的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在前面的學(xué)習(xí)中,我們通過(guò)對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較,根據(jù)圖①和圖②發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式.這種利用面積關(guān)系解決問(wèn)題的方法,使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化.

請(qǐng)你利用上述方法解決下列問(wèn)題:

1)請(qǐng)寫(xiě)出圖1和圖2所表示的代數(shù)恒等式

_______ _______

2)現(xiàn)有a×a,b×b的正方形紙片和a×b的矩形紙片各若干塊,試選用這些紙片(每種紙片至少用一次,每?jī)蓚(gè)紙片之間既不重疊,也無(wú)空隙,拼出的圖形中必須保留拼圖的痕跡),使拼出的矩形面積為為2a2+5ab+2b2,并標(biāo)出此矩形的長(zhǎng)和寬.

(拓展應(yīng)用)

提出問(wèn)題:47×43,56×5479×71,是一些十位數(shù)字相同,且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的算式,是否可以找到一種速算方法?

幾何建模:用矩形的面積表示兩個(gè)正數(shù)的乘積,以47×43為例:

1)畫(huà)長(zhǎng)為47,寬為43的矩形,如圖③,將這個(gè)47×43的矩形從右邊切下長(zhǎng)40,寬3的一條,拼接到原矩形上面.

2)原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式:47×43的矩形面積或(40+7+3)×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和,47×43=(40+10)×40+3×7=5×4×100+3×7=2021

用文字表述47×43的速算方法是:十位數(shù)字41的和與4相乘,再乘以100,加上個(gè)位數(shù)字37的積,構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果.

歸納提煉:

兩個(gè)十位數(shù)字相同,并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是(用文字表述)_________

證明上述速算方法的正確性;

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同承擔(dān)一項(xiàng)筑路任務(wù),甲隊(duì)單獨(dú)施工完成此項(xiàng)任務(wù)比乙隊(duì)單獨(dú)施工完成此項(xiàng)任務(wù)多用10天,且甲隊(duì)單獨(dú)施工45天和乙隊(duì)單獨(dú)施工30天的工作量相同.

(1)甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)各需多少天?

(2)若甲、乙兩隊(duì)共同工作了3天后,乙隊(duì)因設(shè)備檢修停止施工,由甲隊(duì)繼續(xù)施工,為了不影響工程進(jìn)度,甲隊(duì)的工作效率提高到原來(lái)的2倍,要使甲隊(duì)總的工作量不少于乙隊(duì)的工作量的2倍,那么甲隊(duì)至少再單獨(dú)施工多少天?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】定義:若點(diǎn)P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且滿足∠APB+CPD=180°, 則稱(chēng)點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個(gè)互補(bǔ)點(diǎn)”.

(1)如圖1,點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個(gè)互補(bǔ)點(diǎn)”,APD=63°,求∠BPC的度數(shù).

(2)如圖2,點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線上的任意一點(diǎn).求證:點(diǎn)P為菱形ABCD的一個(gè)互補(bǔ)點(diǎn)”.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,正方形中,,點(diǎn)在邊上,且,將沿對(duì)折至,延長(zhǎng)交邊于點(diǎn),連接、.則下列結(jié)論:①;;;.其中正確的是( )

A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知,兩點(diǎn)在數(shù)軸上,點(diǎn)表示的數(shù)為-10,點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到點(diǎn)距離的3倍,點(diǎn)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng).點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)、同時(shí)出發(fā))

1)數(shù)軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是______.

2)經(jīng)過(guò)幾秒,點(diǎn)、點(diǎn)分別到原點(diǎn)的距離相等.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知拋物線y1=x2-2x-3x軸相交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)AB的左側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C,直線y2=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C.

(1)求直線BC的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)y1>y2時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出x的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某慈善組織租用甲、乙兩種貨車(chē)共輛,把蔬菜噸,水果噸,全部運(yùn)到災(zāi)區(qū)已知輛甲種貨車(chē)同時(shí)可裝蔬菜噸,水果噸;一輛乙種貨車(chē)同時(shí)可裝蔬菜噸,水果噸.

(1)若將這批貨物一次性運(yùn)到災(zāi)區(qū),請(qǐng)寫(xiě)出具體的租車(chē)方案?

(2)若甲種貨車(chē)每輛需付燃油費(fèi)元,乙種貨車(chē)每輛需付燃油費(fèi)元,則應(yīng)選(1)種的哪種方案,才能使所付的燃油費(fèi)最少?最少的燃油費(fèi)是多少元?

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