Question

如圖，將邊長為8的等邊△AOB置于平面直角坐標系中，點A在x軸正半軸上，過點O作OC⊥AB于點C，將△OAC繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△OBD，這時，點D恰好落在y軸上．若動點E從原點O出發(fā)，沿線段OC向終點C運動，動點F從點D出發(fā)，沿線段DO向終點O運動，兩點同時出發(fā)，速度均為每秒1個單位長度．設(shè)運動的時間為t秒．
（1）請直接寫出點A、點D的坐標；
（2）當△OEF的面積為

3 3

4

時，求t的值；
（3）設(shè)EF與OB相交于點P，當t為何值時，△OPF與△OBD相似？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可直接得出A點坐標；再由OC⊥AB可得出OC的長，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)可得出OD的長，進而得出D點坐標；
（2）過點E作EG⊥OD于點G，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知OC平分∠AOB，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出EG的長，S_△OEF=

1

2

OF•EG，OF=OD-DF=4

3

-t即可得出t的值；
（3）由于∠BOD=∠FOP，△OPF∽△ODB和△OPF∽△OBD兩種情況進行討論．

解答：解：（1）∵等邊△AOB的邊長為8，點A在x軸正半軸上，
∴A（8，0），
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=30°，
∴OC=OA•cos30°=8×

3

2

=4

3

，
∵△OAC旋轉(zhuǎn)后OC與OD重合，
∴D（0，4

3

）；

（2）過點E作EG⊥OD于點G，如圖①所示：
∵△OAB為等邊三角形，OC⊥AB，
∴OC平分∠AOB，
∴∠AOC=30°，
∴∠EOG=90°-30°=60°，
∴EG=OE•sin∠EOG=

3

2

t，
又∵S_△OEF=

1

2

OF•EG，OF=OD-DF=4

3

-t，
由題意可得：

1

2

（4

3

-t）•

3

2

t=

3 3

4

解得t=2

3

±3；

（3）因為∠BOD=∠FOP，所以應(yīng)分兩種情況討論：
①當∠FPO=∠BDO=90°時，如圖②，
∵△OPF∽△ODB，此時OE=OF，
∴t=4

3

-t，解得：t=2

3

；
②當∠OFP=∠ODB=90°時，如圖③，
∵△OPF∽△OBD，
∴OF=

1

2

OE，即（4

3

-t）=

1

2

t，
解得：t=

8 3

3

．
綜上所述，當t=2

3

秒或t=

8 3

3

秒時，△OPF與△OBD相似．

點評：本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識，在解答（3）時要注意進行分類討論，不要漏解．