Question

（1）如圖①，將邊長(zhǎng)為1的等邊三角形紙片（即△OAB）沿直線l₁向右滾動(dòng)（不滑動(dòng)），三角形紙片經(jīng)過(guò)兩次滾動(dòng)，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O₂處；則頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)

4

3

π

；
（2）類比研究：如圖②，將邊長(zhǎng)為1的正方形紙片OABC沿直線l₂向右滾動(dòng)（不滑動(dòng)），OA邊與直線l₂重合，將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O₁處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C₁處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B₁處；又將正方形紙片AO₁C₁B₁繞B₁點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，…，按上述方法經(jīng)過(guò)若干次旋轉(zhuǎn)后，請(qǐng)解決如下問(wèn)題：
問(wèn)題①若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過(guò)3次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)，并求頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑與直線l₂圍成圖形的面積；
②若正方形OABC按上述方法經(jīng)過(guò)5次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)

3+ 2

2

π

；
③正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過(guò)2010次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程是

603π+201

2

π

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的每一個(gè)外角都是120°可知，點(diǎn)O一次旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過(guò)的路線是以邊長(zhǎng)為半徑，120°為圓心角的扇形，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）為了便于標(biāo)注字母，且更清晰的觀察，每次旋轉(zhuǎn)后向右稍微平移一點(diǎn)，作出前幾次旋轉(zhuǎn)后的圖形，點(diǎn)O的第1次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的邊長(zhǎng)為半徑，以90°圓心角的扇形，第2次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為半徑，以90°圓心角的扇形，第3次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的邊長(zhǎng)為半徑，以90°圓心角的扇形；
①根據(jù)弧長(zhǎng)公式與扇形的面積計(jì)算公式分別進(jìn)行計(jì)算，然后相加即可；
②根據(jù)弧長(zhǎng)公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
③求出2010次旋轉(zhuǎn)中有幾個(gè)5次，然后根據(jù)②的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可求解．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠OAO₁=120°，
∴頂點(diǎn)O滾動(dòng)1次經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為

120•π•1

180

=

2

3

π，
∴兩次滾動(dòng)后點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為：2×

2

3

π=

4

3

π；

（2）如圖2，為了便于標(biāo)注字母，且位置更清晰，每次旋轉(zhuǎn)后不防向右移動(dòng)一點(diǎn)，
第1次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的邊長(zhǎng)為半徑，以90°圓心角的扇形，
路線長(zhǎng)為

90•π•1

180

=

1

2

π，
面積為

90•π•12

360

=

1

4

π，
第2次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的對(duì)角線長(zhǎng)

2

為半徑，以90°圓心角的扇形，
路線長(zhǎng)為

90•π• 2

180

=

2

2

π，
面積為

90•π• 2 2

360

=

1

2

π，
第3次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的邊長(zhǎng)為半徑，以90°圓心角的扇形，
路線長(zhǎng)為

90•π•1

180

=

1

2

π，
面積為

90•π•12

360

=

1

4

π，
①經(jīng)過(guò)3次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑為

1

2

π+

2

2

π+

1

2

π=

2+ 2

2

π，
與直線l₂圍成圖形的面積為

1

4

π+

1

2

π+

1

4

π=π；
②第4次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)O沒(méi)有移動(dòng)，旋轉(zhuǎn)后于最初正方形的放置相同，
因此5次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為

1

2

π+

2

2

π+

1

2

π+0+

1

2

π=

3+ 2

2

π；
③∵2010÷5=402，
∴經(jīng)過(guò)2010次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程是5次旋轉(zhuǎn)路程的402倍，

3+ 2

2

π×402=603π+201

2

π．
故答案為：（1）

4

3

π；（2）

3+ 2

2

π，603π+201

2

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，等邊三角形與正方形的性質(zhì)，讀懂題意，并根據(jù)題意作出圖形更形象直觀，且有利于旋轉(zhuǎn)變換規(guī)律的發(fā)現(xiàn)．