Question

【題目】如圖1，正方形中， 點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）如圖2，連接，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)I，

①求證：；

②求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)與已知條件證明，利用AAS證明；

（2）①結(jié)合（1）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求證；

②方法一：延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)與已知條件得出四邊形是平行四邊形，，，由①得出，進(jìn)而可求出，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解；

方法二：連接，利用直角三角形斜邊上的中線為斜邊的一半得出，進(jìn)而證明，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，， 在中利用勾股定理求出x，進(jìn)而求解．

解：（1）證明：四邊形是正方形，

，，

，

，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

，

，

，

（AAS）；

（2）①證明：，

又，

即，

，

，

，

；

②方法一：如圖，延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，

，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

，

四邊形是正方形，

，

四邊形是平行四邊形，，，

，

點(diǎn)是中點(diǎn)，

在中，，

，

，

點(diǎn)是中點(diǎn)，，

，

，

，

，

，

，

，

；

方法二：如圖， 連接，

點(diǎn)是中點(diǎn)，，

，，

，

，

，

，

又，

，

，

，，

，

，

設(shè)，，則，，

在中，由勾股定理得，

解得，，

，

．