Question

如圖，已知矩形ABCD，CN平分∠DCM，E為BC邊上一點，EF⊥AE交CN于點F，以AE，EF為邊作矩形AEFH．
（1）若ABCD為正方形，求證：AEFH也為正方形；
（2）若AB=8，BC=10，
①如果BE=6，求EF的長；
②設(shè)BE為x（x為正整數(shù)），EF交CD于點K，問x為何值時，BE+CK最大，并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了四邊形AEFH是矩形，那么只要證明它的兩條鄰邊相等即可，可通過構(gòu)建全等三角形來求解．在AB上截取AP=EC，連接PE，那么可通過證明三角形APE和EFC全等來得出AE=EF．進而得出四邊形AEFH是正方形．
（2）①可通過構(gòu)建相似三角形來求解，過F作BM的垂線BQ角BM于Q，那么可通過相似三角形ABE和EFQ來得出關(guān)于AB，BE，EQ，F(xiàn)Q的比例關(guān)系來求解，那么關(guān)鍵是表示出FQ，EQ的長，由于CF平分直角∠DCM，因此三角形PQC是個等腰直角三角形，那么EQ=FQ+CE=EQ+4，那么可在比例關(guān)系式中求出EQ的長，也就求出了FQ、EQ的長，可根據(jù)勾股定理得出EF的值．
②方法同①，根據(jù)三角形ABE和ECK相似，得出的關(guān)于AB、BE、CD、CE的比例關(guān)系，用x表示出CK，然后就可以得出關(guān)于BE+CK和x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出BE+CK的最大值．
解答：（1）證明：在AB上截取AP=EC，連接EP，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEM=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FBC．
∵AP=EC，AB=BC，
∴BP=BE．
∴∠BPE=∠FCM=45°．
∴∠APE=∠ECF=135°．
∵AP=EC，
∴△APE≌△FEC，
∴AE=EF．
∴四邊形AEFH也為正方形．

（2）解：①過點F作BM的垂線，垂點為Q，設(shè)CQ=x，
∵∠AEB+∠BAE=∠FEQ+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEQ．
∵∠ABE=∠FQE=90°，
∴△ABE∽△EQF．
∴=．
可得，解得x=12，CQ=FQ=12，EQ=16．
在直角三角形EFQ中，根據(jù)勾股定理可得：EF=20．

②∵∠BAE=∠FEQ，∠ABE=∠BCK=90°，
∴△ABE∽△BCK．
∴=．
∵BE=x，EC=BC-BE=10-x，AB=8，
∴CK=，
所以BE+CK=，
當(dāng)x=9時，BE+CK最大，最大值．
點評：本題主要考查了正方形的判定，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)等綜合知識，根據(jù)線段比例來求線段的長是本題解題的基本思路．