Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=，BC=3，P是射線AB上的一個動點，以P為圓心，PA為半徑的⊙P與射線AC的另一個交點為D，直線PD交直線BC于點E．

（1）當PA=1時，求CE的長；

（2）如果點P在邊AB的上，當⊙P與以點C為圓心，CE為半徑的⊙C內切時，求⊙P的半徑；

（3）設線段BE的中點為Q，射線PQ與⊙P相交于點F，點P在運動過程中，當PE∥CF時，求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】試題分析：(1)作PH⊥AC，垂足為H，由垂徑定理可得AH=DH，由cosB= BC=3，可得AB=5，AC=4，再由PH∥BC，可得，代入數(shù)據(jù)求得PH= ，即可求得，由，代入數(shù)據(jù)求得CE的長即可；（2）當⊙P與⊙C內切時，點C在⊙P內，可得點D在AC的延長線上，過點P作PG⊥AC，垂足為G，設PA=，則，，，，根據(jù)，代入數(shù)據(jù)可得，解得，因⊙P與⊙C內切,即可得，所以，即，解得，（舍去），即當⊙P與⊙C內切時，⊙P的半徑為；（3）先證明四邊形PDCF是平行四邊形，可得PF=CD，再分當點P在邊AB的上和當點P在邊AB的延長線上兩種情況求AP的長.

試題解析：

（1）作PH⊥AC，垂足為H，∵PH過圓心，∴AH=DH

∵∠ACB=90°，∴PH∥BC， ∵cosB=，BC=3，∴AB=5，AC=4

∵PH∥BC，∴，∴，∴

∴

∴DC=，又∵，∴，∴

（2）當⊙P與⊙C內切時，點C在⊙P內，∴點D在AC的延長線上

過點P作PG⊥AC，垂足為G，設PA=，則，

，，∵，，…（1分）

∵⊙P與⊙C內切,∴

∴

∴,∴，（舍去）

∴當⊙P與⊙C內切時，⊙P的半徑為．

（3）∵∠ABC+∠A=90゜，∠PEC+∠CDE=90゜，∠A=∠PDA，

∴∠ABC=∠PEC

∵∠ABC=∠EBP，

∴∠PEC=∠EBP，

∴PB=PE

∵點Q為線段BE的中點，

∴PQ⊥BC，∴PQ∥AC

∴當PE∥CF時，四邊形PDCF是平行四邊形，∴PF=CD

當點P在邊AB的上時，，

當點P在邊AB的延長線上時，，

綜上所述，當PE∥CF時，AP的長為或．