Question

15．如圖，∠ABC=45°，△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，頂點(diǎn)A、D分別再∠ABC的兩邊BA、BC上滑動（不與點(diǎn)B重合），△ADE的外接圓交BC于點(diǎn)F，O為圓心．
（1）直接寫出∠AFE的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，
①求證：EF-DF=$\sqrt{2}$AF；
②若AB=4$\sqrt{2}$，8$\sqrt{2}$＜BE≤4$\sqrt{13}$，求⊙O的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)已知條件得到AB=AF，∠BAF=90°推出△ABD≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=EF，由線段的和差得到EF-DF=BD-DF=BF，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BF=$\sqrt{2}$AF，即可得到結(jié)論；
②由（2）①得BD=EF，根據(jù)已知條件得到BF=8，根據(jù)勾股定理得到8$\sqrt{2}$＜BE≤4$\sqrt{13}$，求得8＜EF＜12，于是得到S=$\frac{π}{2}$（x-4）²+8π，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∠AFE=45°，連接AF，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AFE=∠EDF=45°；

（2）①連接EF，
∵∠EFD=∠EAD=90°，
∴∠BFE=90°，
∵∠AFE=45°，
∴∠AFB=∠AFE=45°，
∴AB=AF，∠BAF=90°，
∴∠BAD=∠FAE，
在△ABD和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠BAD=∠FAE}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AFE，
∴BD=EF，
∴EF-DF=BD-DF=BF，
∵AF=BF•cos∠AFB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF，即BF=$\sqrt{2}$AF，
∴EF-DF=$\sqrt{2}$AF；
②由（2）①得BD=EF，
∵∠BAF=90°，AB=4$\sqrt{2}$，
∴BF=$\frac{AB}{cos∠ABF}$=$\frac{4\sqrt{2}}{cos45°}$=8，
設(shè)BD=x，則EF=x，DF=x-8，
∵BE²=EF²+BF²，8$\sqrt{2}$＜BE≤4$\sqrt{13}$，
∴128＜EF²+8²＜208，
∴8＜EF＜12，即8＜x＜12，
∴S=$\frac{π}{4}$DE²=$\frac{π}{4}$[x²+（x-8）²]=$\frac{π}{2}$（x-4）²+8π，
∵$\frac{π}{2}$＞0，
∴拋物線的開口向上，
∵拋物線的對稱軸為直線x=4，
∴當(dāng)8＜x≤12時(shí)，16π＜S≤40π．

點(diǎn)評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，連接EF構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．