Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，與AB的延長線交于點D，DE⊥AD且與AC的延長線交于點E．

（1）求證：DC=DE；

（2）若tan∠CAB=，AB=3，求BD的長．

Answer 1

 （1）證明：連接OC，

∵CD是⊙O的切線，

∴∠OCD=90°，

∴∠ACO+∠DCE=90°，

又∵ED⊥AD，∴∠EDA=90°，

∴∠EAD+∠E=90°，

∵OC=OA，∴∠ACO=∠EAD，

故∠DCE=∠E，

∴DC=DE，

（2）解：設(shè)BD=x，則AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，

在Rt△EAD中，

∵tan∠CAB=，∴ED=AD=（3+x），

由（1）知，DC=（3+x），在Rt△OCD中，

OC²+CD²=DO²，

則1.5²+[（3+x）]²=（1.5+x）²，

解得：x₁=﹣3（舍去），x₂=1，

故BD=1．