Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，tanA=，AC=6，以BC為斜邊向右側(cè)作等腰直角△EBC，P是BE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接PC，以PC為直角邊向下方作等腰直角△PCD，CD交線段BE于點(diǎn)F，連接BD．

（1）求證：PC：CD=CE：BC；

（2）若PE=n（0＜n≤4），求△BDP的面積；（用含n的代數(shù)式表示）

（3）當(dāng)△BDF為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段PE的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S=2n2+n（0＜n≤4）；（3）4-4或4．

【解析】

(1)由△PCD，△EBC都是等腰直角三角形，得出CD=PC，BC=CE，即可得出結(jié)論；

(2)作PH⊥BD于H，首先利用四點(diǎn)共圓證明∠CBD=90°，再證明△CBD∽△CEP，求出BD、PH即可得出結(jié)果；

(3)分兩種情形：①當(dāng)BF=BD時(shí)，∠BDF=67.5°，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG=BD，由BG+CG=BC構(gòu)建方程即可得出結(jié)果；②當(dāng)FB=FD時(shí)，∠FBD=∠FDB=45°，此時(shí)BD=BC=4，點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，即可得出結(jié)果．

(1)∵△PCD，△EBC都是等腰直角三角形，

∴CD=PC，BC=CE，

∴==，==，

∴=；

(2)如圖1中，作PH⊥BD于H，

∵△PCD，△EBC都是等腰直角三角形，

∴∠PCD=∠BCE=45°，∠PBC=∠PDC=45°，

∴B、C、P、D四點(diǎn)共圓，

∴∠DBP=∠PCD=45°，

∴∠CBD=∠DBP+∠PBC=45°+45°=90°，△PBH是等腰直角三角形，

∵∠BCE=∠DCP=45°，

∴∠BCD=∠ECP，

∵∠CEP=∠CBD=90°，

∴△CBD∽△CEP，

∴==，

∵PE=n，

∴BD=n，

∵tanA==，AC=6，

∴BC=4，

∴EC=BE=4，

∴PB=4+n，PH=BH=(4+n)，

∴S△BDP=BDPH=×n×(4+n)=2n2+n(0＜n≤4)；

(3)①如圖2中，當(dāng)BF=BD時(shí)，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG=BD，

∵∠PBD=45°，

∴∠BDF=67.5°，

∵∠CBD=90°，

∴∠BDG=∠BGD=45°，

∴∠BCD=∠GDC=22.5°，

∴GC=GD，

∵PE=n，BD=n，

∴BG=n，CG=DG=BG=2n，

∴BG+CG=BC=4，

∴n+2n=4，

∴n=4-4，

∴PE=4-4；

②如圖3中，當(dāng)FB=FD時(shí)，則∠FBD=∠FDB=45°，

此時(shí)BD=BC=4，

∵∠CDP=45°，

∴∠BDP=90°，

∵∠CPD=90°，∠CBD=90°，

∴四邊形CBDP為正方形，E、F點(diǎn)重合，

∴PE=BE=4，

綜上所述，線段PE的長(zhǎng)度為：4-4或4．