Question

18．四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)E，有AE=EC，BE=ED，以AB為直徑的半圓過(guò)點(diǎn)E，圓心為O．
（1）利用圖1，求證：四邊形ABCD是菱形．
（2）如圖2，若CD的延長(zhǎng)線與半圓相切于點(diǎn)F，已知直徑AB=8．
①連結(jié)OE，求△OBE的面積．
②求弧AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先由AE=EC、BE=ED可判定四邊形為平行四邊形，再根據(jù)∠AEB=90°可判定該平行四邊形為菱形；
（2）①連結(jié)OF，由切線可得OF為△ABD的高且OF=4，從而可得S_△ABD，由OE為△ABD的中位線可得S_△OBE=$\frac{1}{4}$S_△ABD；
②作DH⊥AB于點(diǎn)H，結(jié)合①可知四邊形OHDF為矩形，即DH=OF=4，根據(jù)sin∠DAB=$\frac{DH}{AD}$=$\frac{1}{2}$知∠EOB=∠DAH=30°，即∠AOE=150°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得答案

解答 解：（1）∵AE=EC，BE=ED，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵AB為直徑，且過(guò)點(diǎn)E，
∴∠AEB=90°，即AC⊥BD．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是菱形．

（2）①連結(jié)OF．

∵CD的延長(zhǎng)線與半圓相切于點(diǎn)F，
∴OF⊥CF．
∵FC∥AB，
∴OF即為△ABD中AB邊上的高．
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB×OF=$\frac{1}{2}$×8×4=16，
∵點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，
∴S_△OBE=$\frac{1}{4}$S_△ABD=4．
②過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H．
∵AB∥CD，OF⊥CF，
∴FO⊥AB，
∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°．
∴四邊形OHDF為矩形，即DH=OF=4．
∵在Rt△DAH中，sin∠DAB=$\frac{DH}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠DAH=30°．
∵點(diǎn)O，E分別為AB，BD中點(diǎn)，
∴OE∥AD，
∴∠EOB=∠DAH=30°．
∴∠AOE=180°-∠EOB=150°．
∴弧AE的長(zhǎng)=$\frac{150π×4}{180}$=$\frac{10}{3}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查菱形的判定即矩形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)，熟練掌握其判定與性質(zhì)并結(jié)合題意加以靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．