【題目】1)已知:如圖1,在△ABC中,∠ABC的平分線與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O,求證:∠BOC=90°+A;

2)如圖2,在△ABC中,BP,CP分別是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分線,試探究∠BPC與∠A的關(guān)系.

3)如圖3,在△ABC中,CE平分∠ACBBE是△ABC的外角∠ABD的平分線,試探究∠BEC與∠A的關(guān)系.

【答案】1)見(jiàn)解析;(2)∠BPC=90°A,理由見(jiàn)解析;(32BEC=A.

【解析】

1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC=180°-OBC-OCB,則2BOC=360°-2OBC-2OCB,再根據(jù)角平分線的定義得∠ABC=2OBC,∠ACB=2OCB,則2BOC=360°-ABC-ACB,易得∠BOC=90°+A;

2)根據(jù)三角形外角平分線的性質(zhì)可得∠BCP=(∠A+ABC)、∠PBC=(∠A+ACB);根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC=90°-A;

3)根據(jù)CE為∠ABC的角平分線,BE為△ABC外角∠ABD的平分線,可知,∠A=180°-1-3,∠E=180°-4-ABE=180°-3-(∠A+21),兩式聯(lián)立可得2BEC=A

(1)證明:在△BOC中,

∵∠BOC=180°OBCOCB

2BOC=360°2OBC2OCB,

BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,

∴∠ABC=2OBC,∠ACB=2OCB

2BOC=360°(ABC+ACB),

∵∠ABC+ACB=180°A

2BOC=180°+A,

∴∠BOC=90°+A

(2)BPC=90°A.

證明:∵BP、CP為△ABC兩外角∠ABC、∠ACB的平分線,A,

∴∠BCP= (A+ABC)、∠PBC= (A+ACB),

由三角形內(nèi)角和定理得,BPC=180°BCPPBC=180° [A+(A+ABC+ACB)]=180° (A+180°)=90°A;

(3)2BEC=A.

證明:∵CE為∠ACB的角平分線,BE為△ABC外角∠ABD的平分線,兩角平分線交于點(diǎn)E,

∴∠1=2,ABE= (A+21),3=4,

在△ACF,A=180°13

∴∠1+3=180°A

在△BEF,E=180°4ABE=180°3 (A+21),

2E=360°23A21=360°2(1+3)A②,

把①代入②得2E=A,即2BEC=A.

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