Question

4．在矩形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，H為BE上的一點(diǎn)，$\frac{EH}{BH}=3$，連接CH并延長交AB于點(diǎn)G，連接GE并延長交AD的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：$\frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}$；
（2）若∠CGF=90°，求$\frac{AB}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△CEH∽△GBH，即可推得$\frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}$．
（2）作EM⊥AB于M，則EM=BC=AD，AM=DE，設(shè)DE=CE=3a，則AB=CD=6a，由（1）得：$\frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}$=3，得出BG=$\frac{1}{3}$CE=a，AG=5a，證明△DEF∽△GEC，由相似三角形的性質(zhì)得出EG•EF=DE•EC，由平行線證出$\frac{EF}{EG}=\frac{3}{2}$，得出EF=$\frac{3}{2}$EG，求出EG=$\sqrt{6}$a，在Rt△EMG中，GM=2a，由勾股定理求出BC=EM=$\sqrt{2}$a，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴△CEH∽△GBH，
∴$\frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}$．
（2）解：作EM⊥AB于M，如圖所示：
則EM=BC=AD，AM=DE，
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴DE=CE，
設(shè)DE=CE=3a，則AB=CD=6a，
由（1）得：$\frac{EC}{BG}=\frac{EH}{BH}$=3，
∴BG=$\frac{1}{3}$CE=a，
∴AG=5a，
∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，
∴△DEF∽△GEC，
∴$\frac{DE}{EG}=\frac{EF}{EC}$，
∴EG•EF=DE•EC，
∵CD∥AB，
∴$\frac{EF}{FG}=\frac{DE}{AG}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{EF}{EG}=\frac{3}{2}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$EG，
∴EG•$\frac{3}{2}$EG=3a•3a，
解得：EG=$\sqrt{6}$a，
在Rt△EMG中，GM=2a，
∴EM=$\sqrt{E{G}^{2}-G{M}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∴BC=$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{6a}{\sqrt{2}a}$=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．