Question

【題目】如圖，在中，，，，為的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與、、重合），過點(diǎn)作的垂線交折線于點(diǎn)．以、為鄰邊構(gòu)造矩形．設(shè)矩形與重疊部分圖形的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

（1）直接寫出的長（用含的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)點(diǎn)落在的邊上時(shí)，求的值；

（3）當(dāng)矩形與重疊部分圖形不是矩形時(shí)，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；

（4）沿直線將矩形剪開，得到兩個(gè)圖形，用這兩個(gè)圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形．請直接寫出所有符合條件的的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）；（4）或．

【解析】

（1）根據(jù)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和BD的長度即可出結(jié)果；

（2）畫出圖象，根據(jù)三角形的相似求出各個(gè)線段長，即可解決；

（3）分情況討論，矩形與重疊部分面積即為矩形面積減去△ABC外部的小三角形面積，通過三角函數(shù)計(jì)算出各邊長求面積即可；

（4）要想使被直線分割成的兩部分能拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形，則需要被分割的是兩個(gè)至少有一條相等邊長的直角三角形，或者直線正好過正方形一條邊的中點(diǎn)，分情況畫圖求解即可．

解：（1）∵，為的中點(diǎn)，

∴，

P從B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D所需時(shí)間為1s，

由題意可知，

；

（2）如圖所示，

由題意得，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

由四邊形是矩形可知，∠QPD=∠MDP=90°，PQ=DM，即∠APQ=∠BDM=90°，

∵∠B=∠B，∠BDM=∠ACB=90°，

∴△MDB∽△ACB，

∴ ，即，

∴，即

∵∠A=∠A，∠APQ=∠ACB=90°，

∴△APQ∽△ACB，

∴ ，即，

解得 ；

（3）當(dāng) 時(shí)，如圖，DM交BC于點(diǎn)F，

由矩形可知PD∥QM，∴∠FQM=∠B=30°，

此時(shí)，

∴，

∴,

解得，

，

同理，，解得，

，

，

當(dāng) 時(shí)，如圖，DM交BC于點(diǎn)F，QM交BC于E，

，由題意可知∠A=60°，

，

∴，即，

，得，

∴，

∵，

∴，

，

，

∴，

綜上所述： ；

（4）如圖所示，當(dāng)Q與C重合時(shí)，滿足條件，

由前面解題過程可知此時(shí)，

當(dāng)PQ=DM時(shí)，此時(shí)直線CD正好過QM的中點(diǎn)，滿足條件，

此時(shí)，

當(dāng)直線CD正好過PQ的中點(diǎn)G時(shí)，滿足條件，如圖，

由前面計(jì)算可知，則，

，

解得，

綜上所述，或．