Question

【題目】在一個(gè)邊長為a（單位：cm）的正方形ABCD中，點(diǎn)E、M分別是線段AC，CD上的動點(diǎn)，連結(jié)DE并延長交正方形的邊于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MN⊥DF于H，交AD于N．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：DF=MN；
（2）如圖2，假設(shè)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動，點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以 cm/s速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t（t＞0）；
①判斷命題“當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)M是邊CD的三等分點(diǎn)”的真假，并說明理由．
②連結(jié)FM、FN，△MNF能否為等腰三角形？若能，請寫出a，t之間的關(guān)系；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，

∴∠ADF=∠DCN．

在△ADF與△DNC中，

，

∴△ADF≌△DNC（ASA），

∴DF=MN

（2）

解：①該命題是真命題．

理由如下：當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí)，則AF= AB= CD．

∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，

∴ ，

∴AE= EC，則AE= AC= a，

∴t= = a．

則CM=1t= a= CD，

∴點(diǎn)M為邊CD的三等分點(diǎn)．

②能．理由如下：

易證△AFE∽△CDE，∴ ，即 ，得AF= ．

易證△MND∽△DFA，∴ ，即 ，得ND=t．

∴ND=CM=t，AN=DM=a﹣t．

若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形：

（Ⅰ）若FN=MN，則由AN=DM知△FAN≌△NDM，

∴AF=ND，即 =t，得t=0，不合題意．

∴此種情形不存在；

（Ⅱ）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，

∴t= a，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合；

（Ⅲ）若FM=MN，顯然此時(shí)點(diǎn)F在BC邊上，如下圖所示：

由△CEF∽△AED，得 ，

∴ = ，

∴CF= ，

由△DNM∽△CDF，得 = ，

∴ = ，

∴DN=t=CM，

在Rt△MFC和△NMD中，

∵ ，

∴△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a﹣t；

又由△NDM∽△DCF，∴ ，即 ，∴FC= ．

∴ =a﹣t，

∴t=a，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合．

綜上所述，當(dāng)t=a或t= a時(shí)，△MNF能夠成為等腰三角形

【解析】（1）證明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；（2）①首先證明△AFE∽△CDE，利用比例式求出時(shí)間t= a，進(jìn)而得到CM= a= CD，所以該命題為真命題；②若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形，需要分類討論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．