Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是AD上一個動點(diǎn)，把△BAE沿BE向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A₁恰落在∠BCD的平分線上時，則CA₁的長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：如圖，過點(diǎn)A₁作A₁M⊥BC于點(diǎn)M．設(shè)CM=A₁M=x，則BM=4-x．在直角△A₁MB中，由勾股定理得到：A₁M²=A₁B²-BM²=9-（4-x）²．由此求得x的值；然后在等腰Rt△A₁CM中，
CA₁=

2

A₁M．

解答：解：如圖，過點(diǎn)A₁作A₁M⊥BC于點(diǎn)M．
∵點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A₁恰落在∠BCD的平分線上，
∴設(shè)CM=A₁M=x，則BM=4-x．
又由折疊的性質(zhì)知AB=A₁B=3．
∴在直角△A₁MB中，由勾股定理得到：A₁M²=A₁B²-BM²=9-（4-x）²．
∴9-（4-x
）²=x²，
∴x=A₁M=2±

2

2

，
∴在等腰Rt△A₁CM中，CA₁=

2

A₁M=2

2

±1．
故答案是：2

2

±1．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題）．解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)建直角三角形△A₁MB和等腰直角△A₁CM，利用勾股定理將所求的線段與已知線段的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來．