Question

如圖，直線l₁∥l₂∥l₃，且l₁與l₂的距離為1，l₂與l₃的距離為3．把一塊含有45°角的直角三角板如圖所示放置，頂點(diǎn)A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l₂交于點(diǎn)D，則線段BD的長度為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),平行線之間的距離,等腰直角三角形,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：分別過點(diǎn)A、B、D作AF⊥l₃，BE⊥l₃，DG⊥l₃，先根據(jù)全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的長，在Rt△ACF中根據(jù)勾股定理求出AC的長，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的長，在Rt△BCD中根據(jù)勾股定理即可求出BD的長．

解答：解：別過點(diǎn)A、B、D作AF⊥l₃，BE⊥l₃，DG⊥l₃，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，
在△BCE與△ACF中，

∠EBC=∠ACF BC=BC ∠BEC=∠AFC

∴△BCE≌△ACF（ASA）
∴CF=BE，CE=AF，
∵l₁與l₂的距離為1，l₂與l₃的距離為3，
∴CF=BE=3，CE=AF=3+1=4，
在Rt△ACF中，
∵AF=4，CF=3，
∴AC=5，
∵AF⊥l₃，DG⊥l₃，
∴△CDG∽△CAF，
∴

DG

AF

=

CD

AC

，
∴

3

4

=

CD

5

∴CD=

15

4

在Rt△BCD中，
∵CD=

15

4

，BC=5，
所以BD=

BC2+CD2

=

25

4

．
故答案為：

25

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵．