Question

（1）如圖1，矩形ABCD，點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，），求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)拋物線的解析式；
（2）如圖2，拋物線E：經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，其頂點(diǎn)在y軸左側(cè)，以O(shè)為頂點(diǎn)作矩形OADC，A、C為拋物線E上兩點(diǎn)，若AC∥x軸，AD=2CD，則拋物線的解析式是______；
（3）如圖3，點(diǎn)A、B、C分別為拋物線F：y=ax²+bx+c（a＜0）上的點(diǎn)，點(diǎn)B在對(duì)稱軸右側(cè)，點(diǎn)D在拋物線外，順次連接A、B、C、D四點(diǎn)，所成四邊形為矩形，且AC∥x軸，AD=2CD，求矩形ABCD的周長(zhǎng)（用含a的式子表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AO于H，由三角函數(shù)的知識(shí)，即可求得∠AOB的度數(shù)，又由四邊形ABCD是矩形，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，又因?yàn)閽佄锞�過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx，利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；
（2）根據(jù)矩形與三角函數(shù)的知識(shí)，即可求得點(diǎn)A與C的坐標(biāo)分別為（-y，y）與（2y，y），又由拋物線過(guò)原點(diǎn)，求得c=0，將點(diǎn)A與C的坐標(biāo)代入解析式即可求得b的值，則可求得拋物線的解析式；
（3）首先作輔助線：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AO于H，令頂點(diǎn)為P，作拋物線對(duì)稱軸PQ交AC于點(diǎn)M，過(guò)B作BN⊥PQ于N，由三角函數(shù)的知識(shí)求得，則可令A(yù)H=t，將BH，CH，AB，BC用t表示出來(lái)，代入函數(shù)解析式即可求得t的值，則問(wèn)題得解．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AO于H，
則OH=3，BH=，
∴tan∠AOB=，
∴∠AOB=30°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABO=90°，
∴∠BAO=60°，
∴tan∠BAO=，
∴AH=1，
∴A（4，0），
∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx，
則，∴，
∴此拋物線的解析式為：y=-x²+x；

（2）∵四邊形AOCD是矩形，
∴∠AOC=∠D=90°，OC∥AD，
∴∠ACO=∠CAD，
∵AC∥x軸，
∴∠OEC=90°，
∴∠AOE+∠COE=∠COE+∠OCA=90°，
∴∠AOE=∠ACO=∠CAD，
在Rt△ACD中，tan∠CAD=，
∵AD=2CD，
∴tan∠ACO=tan∠AOE=tan∠CAD=，
∵點(diǎn)A與C的縱坐標(biāo)相同，
∴可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-y，y），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2y，y），
∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，
∴c=0，
∴拋物線解析式為：y=-x²+bx，
將點(diǎn)A與C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，
解得：b=-，
∴此拋物線的解析式為：y=-x²-x；

（3）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AO于H，令頂點(diǎn)為P，
作拋物線對(duì)稱軸PQ交AC于點(diǎn)M，
過(guò)B作BN⊥PQ于N，
∴∠BHC=∠BHA=90°，
∵∠ABC=90°，
∴tan∠ABH=tan∠ACB=，
令A(yù)H=t，則BH=2t，CH=4t，
AB=t，BC=t，
設(shè)y=ax²+bx+c=a（x-h）²+k，PN=n，
則A（，k-n-2t），B（，k-n），
∴，
∴t₁=0（舍去），，
∴AB=，BC=，
∴矩形ABCD的周長(zhǎng)為．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用以及求四邊形的周長(zhǎng)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．