Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=k﹣ （其中k為常數(shù)）；
（1）求：函數(shù)的定義域；
（2）證明：函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)；
（3）若函數(shù)為奇函數(shù)，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：要使函數(shù)f（x）=k﹣ 有意義，顯然，只需x≠0

∴該函數(shù)的定義域是{x∈R|x≠0}

（2）證明：證法一：在區(qū)間（0，+∞）上任取x1，x2且令0＜x1＜x2，

則：f（x1）﹣f（x2）=（ ）（ ）=

∵0＜x1＜x2，

∴x1x2＞0，x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

則函數(shù)f（x）在這個區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)

證法二：∵f（x）=k﹣ ，

∴f′（x）= ，

當x∈（0，+∞）時，

f′（x）＞0恒成立，

所以函數(shù)f（x）在這個區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)

（3）解：由（1）知，函數(shù)的定義域關于原點對稱．

要使函數(shù)是奇函數(shù)，需要使f（﹣x）+f（x）=0

則，得：2k=0，即k=0

∴當k=0時，函數(shù)是奇函數(shù)

【解析】（1）根據(jù)使函數(shù)解析式有意義的原則，可得函數(shù)的定義域；（2）證法一：任取x1 ， x2∈R，且0＜x1＜x2 ， 作差判斷出f（x1）﹣f（x2）＜0，結(jié)合單調(diào)性的定義，可得：函數(shù)f（x）在R是增函數(shù)；
證法二：求導，根據(jù)當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，可得：函數(shù)f（x）在R是增函數(shù)．（3）要使函數(shù)是奇函數(shù)，需要使f（﹣x）+f（x）=0，解得k值．
【考點精析】利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知單調(diào)性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．