Question

9．計(jì)算：$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+100}$．

Answer 1

分析 通過觀察，分母是連續(xù)自然數(shù)的和，并逐漸增多，因此分母部分運(yùn)用高斯求和公式表示出來．進(jìn)一步運(yùn)用拆分的方法，使計(jì)算簡(jiǎn)便．

解答 解：$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+100}$
=1+$\frac{1}{\frac{（1+2）×2}{2}}$+$\frac{1}{\frac{（1+3）×3}{2}}$+…+$\frac{1}{\frac{（1+100）×100}{2}}$
=1+$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+…+$\frac{2}{100×101}$
=1+2×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$）
=1+2×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{101}$）
=1+1-$\frac{2}{101}$
=1$\frac{99}{101}$

點(diǎn)評(píng) 此類問題，如果分母之間存在某種特殊規(guī)律時(shí)，根據(jù)規(guī)律，運(yùn)用運(yùn)算技巧，進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算．