Question

一個自然數(shù)在四進制表示當中的各位數(shù)字之和是5，在五進制表示當中的各位數(shù)字之和是4，那么這個自然數(shù)除以3的余數(shù)是

2

，滿足要求的最小自然數(shù)是（十進制表示）

56

．

Answer 1

分析：我們先從小到大寫出各位數(shù)字之和是4的五進制的數(shù)，將它們化成十進制的形式，再進一步轉(zhuǎn)化為四進制的形式，找到最先出現(xiàn)的數(shù)字之和為5的數(shù)即可得到最小的自然數(shù)，再根據(jù)3的倍數(shù)的特征求余數(shù)即可解答．

解答：解：各位數(shù)字之和是4的五進制的數(shù)，與四進制、十進制的轉(zhuǎn)化如下表

五進制數(shù)	十進制數(shù)	四進制數(shù)	四進制數(shù)字和
4	4	10	1
13	8	20	2
22	12	30	3
31	16	100	1
40	20	110	2
103	28	130	4
112	32	200	2
121	36	210	3
130	40	220	4
202	52	310	4
211	56	320	5
…	…	…	…

由表可知，滿足要求的最小自然數(shù)是（十進制表示） 56．
56的各位數(shù)字相加為11，11÷3=3…2，即56除以3的余數(shù)是2．
故答案為：2，56．

點評：本題主要考查了特殊進位制之間的相互轉(zhuǎn)化，對小學(xué)生來講比較困難，解題關(guān)鍵是找出符合條件的最小數(shù)值．
理論驗證如下：
對任意某進制數(shù)，其各位數(shù)字和能被（N-1）整除，則該數(shù)能被N-1整除．亦即該數(shù)的十進制值能被N-1整除；
在10進制中，各位數(shù)字和能被9整除，則此數(shù)必能被9整除；
在5進制中，各位數(shù)字和能被4整除，則此數(shù)必能被4整除；
在4進制中，各位數(shù)字和能被3整除，則此數(shù)必能被3整除；
證法參考10進制中被9整除的情況；
對任意某N進制數(shù)，其各位數(shù)字和被（N-1）除余K，則該數(shù)被（N-1）除余K；
結(jié)合以上兩點，則
由在5進制表示當中的各位數(shù)字之和是4=5-1，推得該數(shù)被4整除；
由在4進制表示當中的各位數(shù)字之和是5=（4-1）+2，推得該數(shù)被3除余2；
被4整除、被3除余2的最小正整數(shù)時8，則有此性質(zhì)的自然數(shù)=12T+8【T屬于自然數(shù)】；
因（12T+8 ）÷4=3T+2，也就是說除去四進制數(shù)個位上的0（必然的），
只需求某 3T+2 在四進制中各數(shù)字之和=5；
顯然有T=4時，3T+2=14=4進制[32]符合且最�。�
此時12T+8=12×4+8=56．