Question

如圖，凸四邊形ABCD的邊AD和BC的延長線相交于點E，H和G分別是BD和AC的中點．求：△EHG的面積與四邊形ABCD的面積之比．

Answer 1

解：如圖所示：；
連接DG、HC、AH，設DC與GE交于M，DC與EH交于N，設△ENC=S1，S△EMN=S2，S△DME=S3，S△HNC=S4，S△DGM=S5．
因：S△EHB=S△DHE，故：S1+S4+S△BHC=S2+S3+S△DHN…1
又因：S△DHC=S△BHC，故：S△DHN+S4=S△BHC…2
將2代入1得出：S1+S4+S4+S△DHN=S2+S3+S△DHN 簡化得出：2S4=S2+S3-S1…3
同理：S△AGE=S△EGC，故：S△GMC+S1+S2=S3+S5+S△ADG…4
S△ADG=S△DGC，故：S△GMC+S5=S△ADG…5
將5代入4，得出：S△GMC+S1+S2=S3+S5+S△GMC+S5，簡化得出：2S5=S1+S2-S3…6
將得式3與得式6相加，得出：S4+S5=S2，故：S△GHE=S四邊形GHCD…7
又因：S△GHC=S△AGH，S△DGC=S△ADG，故：S四邊形DGHC的=1/2 S四邊形AHCD，同理可求得S四邊形AHCD= S四邊形ABCD，于是得出：S四邊形ABCD=4 S四邊形GHCD…8
故 S△EHG：S四邊形ABCD=1：4
答：△EHG的面積與四邊形ABCD的面積之比是1：4．
分析：要求S△EHG和四邊形ABCD的比例關(guān)系，首先要將S△EHG和四邊形ABCD分別與與之有關(guān)聯(lián)的圖形進行轉(zhuǎn)換，通過觀察發(fā)現(xiàn)：S△GHC=S△AGH，S△DGC=S△ADG，于是求得S△GHC+S△DGC之和即四邊形DGHC的面積為四邊形AHCD的一半．同理可求得四邊形AHCD的面積為四邊形ABCD的一半，于是得出四邊形ABCD的面積為四邊形GHCD的4倍．
然后求出S△GHE與S四邊形GHCD的關(guān)系即可．
點評：解決本題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形，將S△EHG和四邊形ABCD分別與與之有關(guān)聯(lián)的圖形進行轉(zhuǎn)換．