Question

一間房間有n個抽屜，標(biāo)上號碼1至n，全部鎖上．n個人p₁，p₂，p₃，…，p_n排成一列，依次通過這間房間，每個人p_k將（并且僅將）那些標(biāo)號被k整除的抽屜的狀態(tài)改變，即如果抽屜鎖是開的，P_k將它鎖上，如果抽屜是鎖的，P_k將它打開．在n個人全部通過這間房間后，有哪些抽屜是打開的？如果這n個人進行同樣的操作，但依照某種不同的次序通過，結(jié)果又如何？

Answer 1

考點：奇偶性問題

專題：奇數(shù)偶數(shù)問題

分析：因為n個抽屜在開始時全部鎖著，所以當(dāng)n個人全部通過這間房間后，若有某抽屜是打開的，那么該抽屜一定被操作過奇數(shù)次，若某抽屜是鎖著的，則該抽屜一定被操作過偶數(shù)次；另一方面，根據(jù)題意，每個人P_k將（且僅將）對那些標(biāo)號被k整除的抽屜進行一次操作，因此，當(dāng)n個人全部通過這間房間后，若某抽屜是打開的，則該抽屜的編號一定具有奇數(shù)個因數(shù)，根據(jù)完全平方數(shù)的性質(zhì)13，該抽屜的編號一定是一個完全平方數(shù)；故當(dāng)n個人全部通過這間房間后，那些編號為完全平方數(shù)的抽屜是打開的．

解答： 解：因為n個抽屜在開始時全部鎖著，
所以當(dāng)n個人全部通過這間房間后，
若有某抽屜是打開的，那么該抽屜一定被操作過奇數(shù)次，
若某抽屜是鎖著的，則該抽屜一定被操作過偶數(shù)次；
另一方面，根據(jù)題意，每個人P_k將（且僅將）對那些標(biāo)號被k整除的抽屜進行一次操作，
因此，當(dāng)n個人全部通過這間房間后，
若某抽屜是打開的，則該抽屜的編號一定具有奇數(shù)個因數(shù)，
根據(jù)完全平方數(shù)的性質(zhì)13，該抽屜的編號一定是一個完全平方數(shù)；
故當(dāng)n個人全部通過這間房間后，那些編號為完全平方數(shù)的抽屜是打開的．

點評：此題主要考查了奇偶性問題的應(yīng)用，考查了分析推理能力的應(yīng)用．